广东省广州市协和中学2025届高三下学期联考数学试题含解析.doc

广东省广州市协和中学2025届高三下学期联考数学试题

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数的最小正周期为，且满足，则要得到函数的图像，可将函数的图像（）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

2．欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．正项等差数列的前和为，已知，则=（）

A．35 B．36 C．45 D．54

4．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如的素数(如：)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是()

A． B． C． D．

5．设函数的导函数，且满足，若在中，，则（）

A． B． C． D．

6．公差不为零的等差数列{an}中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比数列，则数列{an}的公差等于()

A．1 B．2 C．3 D．4

7．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，那么该双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．

8．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的()

A．9 B．31 C．15 D．63

9．近年来，随着网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用的主要用途，随机抽取了名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：

①可以估计使用主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；

②可以估计不足的大学生使用主要玩游戏；

③可以估计使用主要找人聊天的大学生超过总数的.

其中正确的个数为（）

A． B． C． D．

10．已知，满足约束条件，则的最大值为

A． B． C． D．

11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A． B． C． D．

12．如图所示，正方体的棱，的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在三棱锥中，已知，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为______.

14．设集合，（其中e是自然对数的底数），且，则满足条件的实数a的个数为______．

15．已知函数在上单调递增，则实数a值范围为_________.

16．若复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为_____．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，平面分别是上的动点，且.

（1）若平面与平面的交线为，求证：；

（2）当平面平面时，求平面与平面所成的二面角的余弦值.

18．（12分）已知函数，其中.

（Ⅰ）若，求函数的单调区间；

（Ⅱ）设.若在上恒成立，求实数的最大值.

19．（12分）如图，在等腰梯形中，AD∥BC，，，，，分别为，，的中点，以为折痕将折起，使点到达点位置（平面）．

（1）若为直线上任意一点，证明：MH∥平面；

（2）若直线与直线所成角为，求二面角的余弦值．

20．（12分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足l小时的部分按1小时计算）.现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的概率分别为，，健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为，，且两人健身时间都不会超过3小时.

（1）设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望；

（2）此促销活动推出后，健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额.

21．（12分）健身馆某项目收费标准为每次60元，现推出会员优惠活动：具体收费标准如下：

现随机抽取了100为会员统计它们的消费次数，得到数据如下：

假