河南省信阳市2024-2025学年高三第二次教学质量检测数学试题.docx

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河南省信阳市2024-2025学年高三第二次教学质量检测数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

2．已知为虚数单位，若，则（????）

A． B．2 C． D．

3．已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（????）

A． B．2 C． D．

4．若，则（????）

A． B． C． D．

5．已知随机变量服从正态分布，且，则等于（????）

A．0.14 B．0.62 C．0.72 D．0.86

6．函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（????）．

A．1 B．2 C．3 D．4

7．已知函数（且），若有最小值，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

8．已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的（????）

A．众数为12 B．平均数为14 C．中位数为14.5 D．第85百分位数为16

10．已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，设直线l的斜率为k，则下列选项正确的有（????）

A．

B．若以线段AB为直径的圆过点F，则

C．若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则

D．若以线段AB为直径的圆与x轴相切，则该圆必与抛物线C的准线相切

11．已知函数和其导函数的定义域都是，若与均为偶函数，则（????）

A．

B．关于点对称

C．

D．

三、填空题

12．在的展开式中，的系数为.

13．若直线为曲线的一条切线，则的最大值为.

14．某工厂加工一种电子零件，去年12月份生产1万个，产品合格率为87%.为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年1月份的产量在去年12月份的基础上提高4%，产品合格率比去年12月份增加0.4%，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格产品个数达到最大是两年内的第月.

四、解答题

15．在锐角中，角所对的边分别为，且的面积.

(1)求角A；

(2)若，求的取值范围.

16．设是等差数列，是等比数列.已知，，.

(1)求和的通项公式；

(2)数列和的项从小到大依次排列（相等项计两项）得到新数列，求的前50项的和.

17．2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕.本届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有5个省内展园?26个省外展园和7个国际展园，开园面积近3.23平方公里.游客可通过乘坐观光车?骑自行车和步行三种方式游园.

(1)若游客甲计划在5个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观省内展园的数量为，求的分布列及数学期望；

(2)为更好地服务游客，主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客，其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表：

游园方式

游园结果

观光车

自行车

步行

参观完所有展园

80

80

40

未参观完所有展园

20

120

160

用频率估计概率.若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙能参观完所有展园的概率.

18．已知函数.

(1)若是函数的一个极值点，求的值；

(2)若在上恒成立，求的取值范围；

(3)证明：（为自然对数的底数）.

19．已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线．

(1)求的方程，并说明轨迹的形状；

(2)设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．

①当时，求证：的值及的周长均为定值；

②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由．

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《河南省信阳市2024-2025学年高三第二次教学质量检测数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

A

D

D

C