2024-2025学年浙江省”南太湖“联盟高二上学期第一次联考数学试题（解析版）.docx

高级中学名校试卷

PAGE

PAGE1

浙江省”南太湖“联盟2024-2025学年高二上学期

第一次联考数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.直线的一个方向向量是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，

又因为与共线，所以一个方向向量可以是，

故选：A.

2.已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（）

A.，3 B.，2 C.1，3 D.，2

【答案】D

【解析】因为，，，

所以，，

因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使，

所以，

所以，解得.

故选：D

3.过点作圆的两条切线，切点分别,为坐标原点，则的外接圆方程为（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】由题意知，，，

四边形有一组对角都等于，

四边形的四个顶点在同一圆上，

此圆的直径是，的中点为，

，四边形的外接圆方程为，

外接圆的方程为.

故选：A

4.中，，，，则顶点的轨迹方程是（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】由题意可得顶点的轨迹是以为焦点的椭圆(扣除左右顶点)，设其方程为

所求轨迹方程为：，故选B.

5.已知抛物线的焦点为F，过点F作斜率为1的直线交抛物线C于P,Q两点，则的值为（）

A. B. C.1 D.2

【答案】C

【解析】抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），过点F作斜率为1的直线l：y=x﹣1，

可得，

消去y可得：x2﹣6x+1=0，可得xP+xQ=6，xPxQ=1，

|PF|=xP+1，|QF|=xQ+1，

|PF||QF|=xQ+xP+xPxQ+1=6+1+1=8，

则

故答案为：C

6.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左支交于A，B两点，且，，则C的渐近线为（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】如图．设，，则，

，在中由勾股定理：

，解得：，

在中，由勾股定理：

解得：，所以，所以渐近线方程为：.

故选：A．

7.已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左右焦点，且，为的内心，若，则的值为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】设的内切圆半径为，因为，

所以，可得，

因为点为双曲线右支上一点，

所以，可得，解得，

又因为，可得，整理得，

即，解得或（舍去）.

故选：D.

8.如图所示，四面体的体积为V，点M为棱的靠近B的三等分点，点F分别为线段的中点，点N为线段的中点，过点N的平面与棱，，分别交于O，P，Q，设四面体的体积为，则的最小值为（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】如图所示，连接，可得，

；

令，则，所以，

因为N，O，P，Q四点共面，可得，

当且仅当时取等号，所以；

设点到平面的距离为，则点到平面的距离为，

又因为，，

所以，即的最小值为.

故选：A.

二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.已知直线，下列说法正确的是（）

A.若，则直线的倾斜角为

B.若直线的在两坐标轴的截距相等，则

C.直线与直线垂直，则

D.若直线不过第二象限，则

【答案】AC

【解析】对于选项A，当时，直线l可化为，故直线的斜率为，

所以倾斜角为，故选项A正确；

对于选项B，由题意，令，得，令，得，

若截距相等，则有，解得或，故选项B错误；

对于选项C，由直线垂直的充要条件得，解得，故选项C正确；

对于选项D，直线l可化为，因为不过第二象限，

所以，解得，所以，故选项D错误.

故选：AC.

10.已知椭圆的左，右两焦点分别是，，其中.直线与椭圆交于A，B两点.则下列说法中正确的有（）

A.当时，的周长为4a

B.当时，若AB的中点为M，则

C.若，则椭圆的离心率的取值范围是

D.若AB的最小值为3c，则椭圆的离心率

【答案】AC

【解析】对于A，由椭圆定义得：

的周长，A正确；

对于B，由消去y并整理得：，

则弦AB中点，而，则，

即，B不正确；

对于C，设，则，，

而，

于是得，

由得，解得，C正确；

对于D，由椭圆的性质知，椭圆的通径是过焦点的椭圆的最短弦，当时，

即，

即，解得，因直线l不垂直于x轴，则弦AB不能取到，

即，D不正确.

故选：AC

11.正方体的棱长为2，点M为侧面内的一个动点（含边界），点P、Q分别是线段、的中点，则下列结论正确的是（）

A.存在点M，使得二面角大小为

B.最大值为6

C.直线与面所成角为时，则点M