湖南省永州市2025届高三上学期二模数学试卷 含答案.docx

永州市2025年高考第二次模拟考试

数学

本试卷共6页.全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无

效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（）

A.B.C.D.

2已知复数，则（）

A.B.C.D.1

3.已知非零向量，满足，且，则与的关系是（）

A.垂直B.共线C.夹角为D.夹角为

4.已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（）

A.B.C.D.

5.设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，

其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为

（）

A.0B.2C.4D.6

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6.正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和

三个侧面都相切），则正三棱台的高为（）

A.3B.4C.5D.6

7.已知数列满足，则下列说法正确的是（）

A.若，则所有项恒大于等于B.若，则是单调递增数列

C.若是常数列，则D.若，则是单调递增数列

8.在平面直角坐标系xOy中，，，，其中，，，则当

面积最小时，（）

A.B.C.D.

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.

9.设样本空间含有等可能的样本点，且，，，则下列结论正

确的是（）

A.B.

C.D.

10.斜率为2的直线l与双曲线的两条渐近线交于，两点，与

双曲线交于C，D两点，P是线段的中点，则下列说法正确的是（）

A.是双曲线两条渐近线所构成的“X”形图象的方程

B.P也是线段的中点

C.若l过双曲线的焦点，则直线的斜率是

D.若l过双曲线的焦点，点P的坐标为，则

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11.已知的定义域为非零有理数集，且满足下面三个性质：

①；

②；

③当时，，其中

下列说法正确的是（）

A.若，，则

B.恰有两个整数解

C.若，，则，，中至少有两个相等

D若，则

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知，则_________.

13.用红、橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色，要求每个正四面体四个面颜色各不相

同.我们规定：如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个变得与另一个完全相同，则认为它们用

了同一种上色模式.那么不同的上色模式共有________种.

14.在平面直角坐标系xOy中，射线，，半圆C：.现从

点向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线、时会发生镜面反射.设光

线在发生反射前所在直线的斜率为k，若光线始终与半圆C没有交点，则k的取值范围是________.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，.

（1）求的外接圆半径；

（2）若为锐角三角形，求周长的取值范围.

16.如图，正方体的棱长为1，点M，N分别在线段，上，且，

.

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（1）若，证明：；

（2）若，点P，Q分别在直线，上，且，，求的取值范围.

17.箱子里有四张卡片，分别写有数字1，2，3，4，每次从箱子中随机抽取一张卡片，各卡片被抽到的概

率均为，记录卡片上的数字，然后将卡片放回箱子.重复这个操作，直到满足下列条件之一结束：

（a）第一次抽取的卡片上写的数字是4；

（b）设n为大于等于2的整数，第n次抽取的卡片上写的数字大于第次抽取的卡片上写的数字.例如，

当记录的数字依次为3，2，2，4时，这个操作在第4次结束.

（1）若操作进行了4次仍未结束，求前四次抽取的情况总数；

（2）求操作在第n次结束的概率.

18已知函数，.

（