2025届辽宁省八校高三上学期12月质量检测数学试卷（解析版）.docx

高级中学名校试卷

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辽宁省八校2025届高三上学期12月质量检测数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设为虚数单位，若，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】，故．故选：D．

2.已知，则的值为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】因为，且，

所以.故选：A

3.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中有（）个奇数

A.1012 B.1348 C.1350 D.1352

【答案】C

【解析】对数列中的数归纳发现，每3个数中前2个都是奇数，后一个是偶数，

又，故该数列前2024项有个奇数.故选：C

4.如图，在中，为线段上异于，的任意一点，为的中点，若，则()

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】中，不共线，点D在BC上，则，

存在唯一实数t使，

因为为的中点，，而，

所以，所以.

故选：B

5.已知，，，则（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】由已知得，

比较和的大小，其中，

因为，所以，

又因为在0,+∞单调递增，

所以，即；

比较和的大小，

其中，即，

因为在0,+∞上单调递增，

所以，即；

比较，的大小，

因为，，

所以，即，

故选：.

6.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，

连续上两天班，上班、下班的次数共有4次.

(1)4次均不下雨，概率：；

(2)有1次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：；

(3)有2次下雨但不淋雨，共3种情况：

①同一天上下班均下雨；②两天上班时下雨，下班时不下雨；③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨；

概率为：；

(4)有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，

概率为：；

(5)4次均下雨，概率为：；

两天都不淋雨的概率为：，

所以至少有一天淋雨的概率为：.

故选：D.

7.已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由可知圆心为，半径，

由题意，

所以当时，取最小值，

由点到直线的距离公式可得，

此时，

过作直线的对称点，连接，，与直线的交点即为所求的点，

由于与关于直线对称，，与关于直线对称，

因此与就是同一条直线，即点即为所求的点，

所以的最小值为.

故选：C

8.在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】因为

得，即

所以点在的角平分线上，设的中点为

因为，所以点在线段上，

不妨设，

所以

易知

所以

因为

所以

因为

所以

故选：B

9.对任意A，，记，则称为集合A，B的对称差．例如，若，，则，下列命题中，为真命题的是（）

A.若A，且，则

B.若A，且，则

C.若A，且，则

D.存在A，，使得

【答案】ABD

【解析】解：对于A选项，因为，所以，

所以，且B中的元素不能出现在中，

因此，即选项A正确；

对于B选项，因为，

所以，

即与是相同的，所以，即选项B正确；

对于C选项，因为，所以，

所以，即选项C错误；

对于D选项，时，，，D正确；

故选：ABD．

10.在菱形中，，，E为AB的中点，将沿直线DE翻折至的位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则（）

A.平面

B.

C.异面直线，所成的角为

D.与平面所成角的余弦值为

【答案】AC

【解析】如图，建立空间直角坐标系，则，，，，.

对于A，因为，平面的一个法向量为，

所以，所以平面，故A正确.

对于B，因为，，

所以，

所以DP，EC不垂直，故B错误.

对于C，因为，，

所以，

所以异面直线，所成的角为，故C正确.

对于D，设平面的法向量为，

因为，，

所以

令，得.

设与平面所成的角为，

因为，

所以，

，故D错误.

故选：AC.

11.随机事件A，满足