2025版高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第37讲直接证明与间接证明课时达标理含解析新人教A版.docVIP

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第37讲干脆证明与间接证明

课时达标

一、选择题

1．用反证法证明命题“若a＋b＋c为偶数，则自然数a，b，c恰有一个偶数”时，正确的反设为()

A．自然数a，b，c都是奇数

B．自然数a，b，c都是偶数

C．自然数a，b，c中至少有两个偶数

D．自然数a，b，c都是奇数或至少有两个偶数

D解析“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a，b，c都是奇数或至少有两个偶数”．故选D.

2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设abc，且a＋b＋c＝0，求证eq\r(b2－ac)eq\r(3)a”，索的因应是()

A．a－b0

B．a－c0

C．(a－b)(a－c)0

D．(a－b)(a－c)0

C解析eq\r(b2－ac)＜eq\r(3)a?b2－ac＜3a2?(a＋c)2－ac＜3a2?a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0?－2a2＋ac＋c2＜0?2a2－ac－c2＞0?(a－c)(2a＋c)＞0?(a－c)(a－b

3．(2024·焦作一中月考)若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是()

A．lg(1＋a2)＞0 B．a2＋b2≥2(a－b－1)

C．a2＋3ab＞2b2 D.eq\f(a,b)＜eq\f(a＋1,b＋1)

B解析在B项中，因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以a2＋b2≥2(a－b

4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)的值()

A．恒为负值 B．恒等于零

C．恒为正值 D．无法确定正负

A解析由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2＞0可知x1＞－x2，f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)＜0.

5．已知ab0，且ab＝1，若0c1，p＝logceq\f(a2＋b2,2)，q＝logceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(a)＋\r(b))))2，则p，q的大小关系是()

A．pq B．pq

C．p＝q D．p≥q

B解析因为eq\f(a2＋b2,2)＞ab＝1，所以p＝logceq\f(a2＋b2,2)＜0.

又q＝logceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(a)＋\r(b))))2＝logceq\f(1,a＋b＋2\r(ab))＞logceq\f(1,4\r(ab))＝logceq\f(1,4)＞0，

所以q＞p.

6．设x，y，z0，则三个数eq\f(y,x)＋eq\f(y,z)，eq\f(z,x)＋eq\f(z,y)，eq\f(x,z)＋eq\f(x,y)()

A．都大于2

B．至少有一个大于2

C．至少有一个不小于2

D．至少有一个不大于2

C解析因为x＞0，y＞0，z＞0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(y,z)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(z,x)＋\f(z,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,z)＋\f(x,y)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(x,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,z)＋\f(z,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,z)＋\f(z,x)))≥6，当且仅当x＝y＝z时，等号成立，则三个数中至少有一个不小于2.故选C.

二、填空题

7．设a＝eq\r(3)＋2eq\r(2)，b＝2＋eq\r(7)，则a，b的大小关系为________．

解析a＝eq\r(3)＋2eq\r(2)，b＝2＋eq\r(7)将两式的两边分别平方，可得a2＝11＋4eq\r(6)，b2＝11＋4eq\r(7)，明显eq\r(6)＜eq\r(7).所以a＜b.

答案a＜b

8．用反证法证明命题“若实数a，b，c，d满意a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd1，则a，b，c，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是________________．

解析“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a，b，c，d中没有一个是非负数，即a，b，c，d全是负数”．

答案a，b，c，d全是负数

9．(2024