高中数学第二章圆锥曲线与方程231抛物线及其标准方程练习（含解析）新人教B版选修1-1.docx

2.3.1抛物线及其标准方程

课时过关·能力提升

1.抛物线y2=12x的焦点坐标是()

A.(12,0) B.(6,0) C.(3,0) D.(0,3)

答案:C

2.经过点(2,-3)且焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程是()

A.y2=43xB.y2=92x

C.y2=-43xD.y2=4x

答案:B

3.抛物线y2=43x的准线方程是()

A.x=13B.x=23

C.x=-23D.x=-13

答案:D

4.已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且该圆与直线3x+4y+2=0相切,则该圆的方程为()

A.(x-1)2+y2=6425B.x2+(y-1)2=6425

C.(x-1)2+y2=1 D.x2+(y-1)2=1

答案:C

5.设点P是抛物线y2=16x上的点,它到焦点的距离h=10,则它到y轴的距离d等于()

A.3 B.6 C.9 D.12

解析:设点P到抛物线y2=16x的准线的距离为l.由抛物线y2=16x知p2=4.由抛物线定义知l=h,又l=d+p2,故d=l-p2=h-p2=10-4=6.

答案:B

6.设定点M3,103与抛物线y2=2x上的点P之间的距离为d1,点P到抛物线准线l的距离为d2,则d1+d2取最小值时,点P的坐标为()

A.(0,0) B.(1,2)

C.(2,2) D.18,-12

解析:连接PF,则d1+d2=|PM|+|PF|≥|MF|,知d1+d2的最小值是|MF|,当且仅当M,P,F三点共线时,等号成立,而直线MF的方程为y=43x-12,与y2=2x联立求得x=2,y=2;x=18,y=-12(舍去),此时,点P的坐标为(2,2).

答案:C

7.动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹方程为.

答案:y2=8x

8.抛物线x=2y2的焦点坐标是.

答案:18,0

9.已知y2=2px(p0),求满足下列条件的抛物线的标准方程.

(1)焦点为直线3x+4y-12=0与x轴的交点;

(2)焦点到直线x=-5的距离是8.

解:(1)直线与x轴的交点为(4,0),则p2=4,∴p=8,

∴方程为y2=16x.

(2)焦点在x轴上,设为p2,0,∴p2+5=8,

解得p2=3,则其焦点为(3,0),

∴p=6,故方程为y2=12x或y2=-52x.

★10.

如图,已知直线AB是抛物线y2=2px(p0)的焦点弦,F是抛物线的焦点,点A(x1,y1),B(x2,y2),求证:

(1)y1y2=-p2,x1x2=p24;

(2)|AB|=x1+x2+p=2psin2θ(θ为直线AB的倾斜角);

(3)1|AF|+1|BF|为定值.

分析:设出直线AB的方程并与抛物线方程联立,借助一元二次方程根与系数的关系、抛物线的定义求解.

证明:(1)由已知,得焦点Fp2,0,

当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx-p2(k≠0),

由y=kx-p2,y2=2px,消去x,得ky2-2py-kp2=0. ①

由一元二次方程根与系数的关系,得y1y2=-p2,y1+y2=2pk.又由y=kx-p2,得x=1ky+p2,故x1x2=1ky1+p21ky2+p2=1k2y1y2+p2k(y1+y2)+p24=1k2(-p2)+p2k·2pk+p24=-p2k2+p2k2+p24=p24.

当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=p2,则y1=p,y2=-p,则y1y2=-p2,

x1x2=y122p·y222p=(y1y2)24p2=p24.

综上,y1y2=-p2,x1x2=p24.

(2)当直线AB的斜率存在时,由抛物线的定义知,

|AF|=x1+p2,|BF|=x2+p2,

∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p. ②

又y=kx-p2(k≠0),∴x=1ky+p2,

∴x1+x2=1k(y1+y2)+p.由①知y1+y2=2pk,

∴x1+x2=2pk2+p,代入②得|AB|=2pk2+2p=2p1+1k2=2p1+1tan2θ=2psin2θ.

当直线AB的斜率不存在,即θ=π2时,Ap2,p,Bp2,-p,|AB|=2p=p2+p2+p=2psin2π2.

综上,|AB|=x1+x2+p=2psin2θ.

(3)1|AF|+1|BF|=1x1+p2+1x2+p2

=x1+x2+px1x2+p2(x1+x2)+p24,

将x1x2=p24,x1+x2=|AB|-p,

代入上式,得

1|AF|+1|BF|=|AB|p24+p2(|AB|-p)+p24=2p.

故1|AF|+1|BF|为定值2p.