2023-2024学年云南省昆明市官渡区高二上学期1月期末学业水平考试数学试题（解析版）.docx

高级中学名校试卷

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云南省昆明市官渡区2023-2024学年高二上学期

1月期末学业水平考试数学试题

注意事项：

1.本卷为试题卷.考生必须在答题卡上解题作答.答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷?草稿纸上作答无效；

2.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题，共60分）

一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，

1.直线的斜率是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】直线的斜率为.故选A

2.已知等差数列，则下列属于该数列的项的是（）

A.-23 B.-31 C.-33 D.-43

【答案】C

【解析】由等差数列知数列首项为，公差为，故数列通项为，

分别使取选项中的值，发现仅当时，，其它没有对应的n.故选：C.

3.已知四面体中，是的中点，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】因为四面体中，是的中点，

所以.

故选：B.

4.焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】由题意得，，又，

解得，

故椭圆方程为.

故选：D

5.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为，则（）

A. B.1 C. D.2

【答案】D

【解析】依题意，记，，，

则，，

则，

因为，

，

所以.

故选：D.

6.经过点的直线与圆相交于两点，则的最小值是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】因为圆的圆心为，半径为，

所以点到圆心的距离为，则点在圆内部，

记圆心到直线的距离为，则，

当最大，即时，弦长最小，

此时.

故选：C．

7.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为,则直线的点法式方程为：,化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】根据题意进行类比，在空间任取一点，

则

平面法向量为，

故选：A．

8.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），当时，（）

A.170 B.168 C.130 D.172

【答案】D

【解析】依题意，，

故，

又，所以．

所以．

故选：D.

二?多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求?全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.直线必过定点

B.过点且垂直于直线的直线方程为

C.直线在轴和轴上截距相等

D.直线与直线之间的距离是

【答案】BC

【解析】对于A，将代入直线，得，不恒成立，故A错误；

对于B，设过点且垂直于直线的直线为，

所以，得，

则所求直线为，故B正确；

对于C，直线，

令，则，令，则，

所以直线在轴和轴上截距相等，故C正确；

对于D，将直线化为，

则直线与直线之间的距离为，故D错误.

故选：BC.

10.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图,在阳马中,平面,若，分别为的中点，则（）

A.平面

B.异面直线所成角的余弦值为

C.点到平面的距离为

D.直线与平面所成角的正弦值为

【答案】AD

【解析】对于A，连接，则，

因为E，F分别为PD，PB的中点，所以，

因为平面ABCD，平面ABCD，所以，

且平面，

所以平面，则平面，故A正确；

对于B，因为平面ABCD，平面ABCD，

所以，且，

故以为轴建立空间直角坐标系，如图，

则

则，

所以，

则异面直线所成角的余弦值为，故B错误；

对于C，设点到平面的距离为，

易得，，

则由，得，

即，

则，故C错误；

对于D，由选项B，知，

设平面的一个法向量为，

则，

令，则，

所以，

设AC与平面所成角为，

所以，

故D正确；

故选：AD.

11.过抛物线的焦点的一条直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（）

A.为定值

B.存在直线，使得（为坐标原点）

C.若经过点和抛物线的顶点的直线交准线于点，则

D.若，则

【答案】ACD

【解析】对于A，依题意，直线的斜率不等于0，

设直