高中数学(人教B版)必修一同步讲义2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系(3知识点+4题型+巩固训练)(学生版+解析).docxVIP

2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系

课程标准

学习目标

1、掌握一元二次方程一般式解集的方法.

2、掌握一元二次方程根与系数的关系.

3、会用整体代入法解一元二次方程.

4、学会用配方法推出一元二次方程的解集.

5.灵活运用根与系数的关系解决一元二次方程问题.

1、学会整体代入法解特殊一元二次方程思想方法。

2、由一般性地配方法解集推理出特殊性的方程解集，探索其过程。

3、在实际情景中分析问题，构建一元二次方程模型，计算结果，检验结果实际性。

4、掌握解一元二次方程的运算法则，选择运算方法。

5、对特殊一元二次方程选择相关系数进行分析，得出简捷运算方法。

知识点01一元二次方程的解集

一元二次方程ax2＋bx＋c0(a≠0)，其判别式Δb2－4ac.

(1)当Δb2－4ac0时，方程的解集为

eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，\f(－b－\r(b2－4ac),2a)))；

(2)当Δb2－4ac0时，方程的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))；

(3)当Δb2－4ac0时，方程的解集为?.

注：对于一元二次方程ax2＋bx＋c0(a≠0)，有

(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2?b±b

(2)当Δ0时，方程有两个相等的实数根x1x2－b2a

(3)当Δ＜0时，方程没有实数根．

【即学即练1】（2024·高一课时练习）方程的解集是（）

A．B．C．D．

知识点02一元二次方程的基本特征

一元二次方程的基本特征有两个：一是最高次幂，其指数为2；二是二次项系数不为0.判断方程解的情况，需依据判别式的符号．若二次项系数含有参数，则需要对参数进行分类讨论．

【即学即练1】（2024·高一课时练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是.

知识点03一元二次方程根与系数的关系

当一元二次方程ax2＋bx＋c0(a≠0)的解不是空集时，这个方程的解可以记为x1eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，

x2eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2－\f(b,a)，,x1x2\f(c,a)．))

【即学即练3】（2024·高一课时练习）若关于x的方程的两根分别是，则（）

A．6B．7C．8D．9

难点：应用根与系数的关系求字母系数的值或范围

例题已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋14k2＋10，根据下列条件，求出k

(1)方程两实根的积为5；

(2)方程的两实根x1，x2，满足|x1|x2.

【题型1：求一元二次方程的解集】

例1.（2024·高一课时练习）方程的解集是（????）

A． B． C． D．

变式1.（2024·全国·高三专题练习）集合________．

变式2．（2024·全国·高三专题练习）方程的解集为．

变式3．（2024·湖北恩施·高一校考阶段练习）解下列方程：

(1)；

(2).

变式4.（2024·全国·高三专题练习）方程的实数根是_______________．

【方法技巧与总结】

一元二次方程的解法

（1）直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解；

（2）配方法：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，若右边是一个非负常数，则可以直接开平方求解；

（3）公式法：将一元二次方程中的系数，，的值代入式子中求解；

（4）因式分解法：通过移项将等式右边变成0，再因式分解，令每个因式为0即可求解。

【题型2：方程根个数的判断及应用】

例2．（2024·高一课时练习）下列一元二次方程没有实数根的是（）

A． B．

C． D．

变式1.（2024·辽宁）已知关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是_______．

变式2．（2024·辽宁·高二统考学业考试）已知关于的方程有两个相等的实数根，下列选项中可以取的值是（????）．

A．4 B．2 C．0 D．

变式3.（2024·江苏）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

变式4．（2024·江苏·高一假期作业）求证：方程有两个同号且不相等实根的充要条件是.

变式5．（2024·广东佛山·高一顺德一中校考开学考试）已知关于x的一元二次方程.

(1)若上述方程无正数根，求实数k的取值范围；

(2)若上述方程的两根都是正数，求