高中数学第二章统计222用样本的数字特征估计总体的数字特征学案（含解析）新人教B版必修3.docx

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征

学习目标1.能合理地选取样本，并从中提取基本的数字特征.2.了解众数、中位数、平均数的概念，会计算方差和标准差.3.进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的数字特征估计总体的数字特征．

知识点一众数、中位数、平均数

思考1平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？

答案平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但它的缺点是平均数受数据中极端值的影响较大．

思考2在电视大奖赛中，计算评委打分的平均值时，为什么要去掉一个最高分和一个最低分？

答案为了避免平均值受数据中个别极端值的影响，增大它在估计总体时的可靠性，故计算评委打分时要去掉一个最高分和一个最低分．

梳理众数、中位数、平均数定义

(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．

(2)中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．

(3)平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么x＝1n(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数．

知识点二方差、标准差

思考1当样本数据的标准差为0时，该组数据有何特点？

答案当样本数据的标准差为0时，该组数据都相等．

思考2标准差、方差的意义是什么？

答案标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．

梳理标准差、方差的概念及计算公式

(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．s＝1n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2](xn是样本数据，n是样本容量，x是样本平均数)．

(2)标准差的平方s2叫做方差．

s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2](xn是样本数据，n是样本容量，x是样本平均数)．

(3)标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近．s＝0时，每一组样本数据均为x.

知识拓展：平均数、方差公式的推广：

1．若数据x1，x2，…，xn的平均数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是mx＋a.

2．设数据x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s2，则

a．s2＝1n[(x21＋x22＋…＋x2n)－nx2]；

b．数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；

c．数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.

知识点三用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征

1．样本的基本数字特征包括众数、中位数、平均数、标准差．

2．平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断，因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的．因此，还需要用标准差来反映数据的分散程度．

3．现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，虽然总体的平均数与标准差客观存在，但是我们无从知道．所以通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差．虽然样本具有随机性，不同的样本测得的数据不一样，与总体的数字特征也可能不同，但只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的．

1．中位数是一组数据中间的数．(×)

2．众数是一组数据中出现次数最多的数．(√)

3．一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近．(√)

题型一众数、中位数和平均数的理解与应用

命题角度1众数、中位数、平均数的计算

例1某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下表：

职业

董事长

副董事长

董事

总经理

经理

管理员

职员

人数

1

1

2

1

5

3

20

工资

5500

5000

3500

3000

2500

2000

1500

(1)求该公司职工月工资的平均数；

(2)若董事长、副董事长的工资分别从5500元、5000元提升到30000元、20000元，那么公司职工月工资新的平均数又是什么？

解(1)公司职工月工资的平均数为

x＝5500＋5000＋3500×2＋3000＋2500×5＋2000×3＋1500×2033

＝6900033≈2091(元)．

(2)若董事长、副董事长的工资提升后，职工月工资的平均数为

x＝30000＋20000＋3500×2＋3000＋2500×5＋2000×3＋1500×2033

3288(元)．

反思与感悟(1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．

(2)众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中部分数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题．

(3)中位数仅与