2025年高考数学二轮复习提升版学案 微切口3　同构方法在函数中的应用.pptxVIP

专题六特别策划——赢在中档题之高考微切口函数与导数微切口3同构方法在函数中的应用

视角1变量分离同构1【解析】B

1A

【解析】

【解析】方法一：由题知x1＞0，x2＞e2，令t＝lnx2－2，t＞0，x2＝et＋2，则tet＝e3．令f(x)＝xex(x＞0)，则f′(x)＝(x＋1)ex＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，而f(x1)＝f(t)＝e3，所以x1＝t＝lnx2－2，所以x1x2＝x2(lnx2－2)＝e5．1e5

D

【解析】

视角2指对跨阶同构(1)(2024·沧州二模)若函数f(x)＝xex－x－lnx＋a－2有两个零点，则实数a的取值范围是 ()A．(－∞，1] B．(－∞，0] C．(－∞，0) D．(－∞，1)【解析】令f(x)＝xex－x－lnx＋a－2＝0，所以xex－x－lnx＝ex＋lnx－(x＋lnx)＝2－a．令F(x)＝ex＋lnx－(x＋lnx)，定义域为(0，＋∞)，y＝2－a，令t＝x＋lnx，易知t(x)在(0，＋∞)上单调递增，且t∈R，所以F(x)＝g(t)＝et－t，则函数f(x)有两个零点转化为函数g(t)＝et－t的图象与直线y＝2－a有两个交点．D2

又g′(t)＝et－1，当t＜0时，g′(t)＜0；当t＞0时，g′(t)＞0，所以g(t)＝et－t在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以g(t)≥g(0)＝e0－0＝1，当t→－∞时，g(t)→＋∞；当t→＋∞时，g(t)→＋∞，则y＝2－a＞1，解得a＜1，即实数a的取值范围是(－∞，1)．

(2)已知函数f(x)＝ex－alnx(其中a为参数)，若对任意的x∈(0，＋∞)，不等式f(x)＞alna恒成立，则正实数a的取值范围是_________．【解析】2(0，e)

指对跨阶同构的解题策略(1)直接变形①积型：aea≤blnb?a·ea≤lnb·elnb?f(x)＝xex(同左)；?ea·lnea≤b·lnb?f(x)＝xlnx(同右);?a＋lna≤lnb＋ln(lnb)?f(x)＝x＋lnx(取对数)．?a－lna＜lnb－ln(lnb)?f(x)＝x－lnx(取对数)．③和差型：ea±a＞b±lnb?ea±a＞elnb±lnb?f(x)＝ex±x(同左)；?ea±lnea＞b±lnb?f(x)＝x±lnx(同右)．

(2)凑配后再变形若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘x、同加上x等，再用上述方式变形．常见的有：①aeax＞lnx?axeax＞xlnx?eaxlneax＞xlnx?f(x)＝xlnx；

C

【解析】构造函数h(x)＝(1＋x)lnx，(ekx＋1)lnekx≥(1＋x)lnx可转化为h(ekx)≥h(x)(x＞0)．

变式2(2)已知实数x，y满足ex＝ylnx＋ylny，则满足条件的整数y的最小值为 ()A．1B．3C．5D．7【解析】由实数x，y满足ex＝ylnx＋ylny，可得ex＝yln(xy)(x＞0，y＞0，xy＞1)，即xex＝xyln(xy)＝ln(xy)·eln(xy)．B

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【解析】显然，由a＞b，可得2a＞b，但由2a＞b不能得到a＞b，故是必要不充分条件．B

【解析】由alna＝beb，得lna·elna＝beb，a＞1．令f(x)＝xex，x＞0，可得f′(x)＝(x＋1)ex＞0，所以f(x)单调递增．令g(x)＝xe－2x，x＞0，可得g′(x)＝e－2x(1－2x)，B

A

【解析】f(x)＞0等价于eax＋ax＞x2＋2lnx＝e2lnx＋2lnx．当x∈(0，e)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减．

4．(2024·湖北宜荆荆随恩5月联考)已知f(x)＝x(ex－1)，g(x)＝lnx，与y轴平行的直线l与f(x)和g(x)的图象分别交于A，B两点，则|AB|的最小值是 ()【解析】由题意设A(a，f(a))，B(a，g(a))，则|AB|＝|f(a)－g(a)|，令h(x)＝f(x)－g(x)＝x(ex－1)－lnx＝ex＋lnx－(x＋lnx)．下证：ex－x≥1，A

设t(x)＝ex－x－1，则t′(x)＝ex－1，t′(0)＝0，当x∈(－∞，0)时，t′(x)＜0，t(x)为减函数；当x∈(0，＋∞)时，t′(x)＞0，