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微专题6恒成立问题与能成立问题

[考情分析]恒成立问题(能成立问题)多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的热门题型，可以出现在选择、填空或解答题中，也经常以压轴解答题形式出现，难度较大.

考点一利用导数研究恒成立问题

例1(2024·茂名模拟)已知函数f(x)=lnx

(1)求曲线y=f(x)在点(e，f(e))处的切线方程；

(2)当x≥1时，xf(x)≤a(x2-1)，求a的取值范围.

[规律方法]由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略

(1)求最值法.将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题.

(2)分离参数法.将参数分离出来，进而转化为af(x)max或af(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围.

跟踪演练1(2024·保定模拟)已知函数f(x)=ax+ln(x+1).

(1)若a=-2，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)≤0恒成立，求a的取值集合.

考点二利用导数研究能成立问题

例2已知函数f(x)=(x-4)ex-x2+6x，g(x)=lnx-(a+1)x，a-1.

(1)求f(x)的极值；

(2)若存在x1∈[1，3]，对任意的x2∈[e2，e3]，使得不等式g(x2)f(x1)成立，求实数a的取值范围.(e3≈20.09)

[规律方法]不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别.

含参数的不等式能成立(存在性)问题的转化方法

若af(x)在x∈D上能成立，则af(x)min；

若af(x)在x∈D上能成立，则af(x)max.

跟踪演练2(2024·青岛模拟)已知函数f(x)=ex-a-lnx.

(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若存在x0∈[e，+∞)，使f(x0)0成立，求a的取值范围.

答案精析

例1解(1)由于f(e)=1e，则切点坐标为e

因为f(x)=1-lnxx2，所以切线斜率为f(e)=0，故切线方程为y

(2)方法一(分类讨论求最值)

当x∈[1，+∞)时，xf(x)≤a(x2-1)等价于lnx≤a(x2-1)，

令g(x)=a(x2-1)-lnx，x∈[1，+∞)，

若lnx≤a(x2-1)恒成立，则g(x)≥0恒成立，

g(x)=2ax-1x=2

当a≤0时，g(x)0，函数g(x)在[1，+∞)上单调递减，g(x)≤g(1)=0，不符合题意；

当0a12时，12

由g(x)=0，得x=12a(舍负

当x∈1，12a时，g(x)0，函数g(x)单调递减，g(x)≤g(

当a≥12时，2a≥1，因为x≥1，所以2ax2-1≥0，则g(x)≥0

所以函数g(x)在[1，+∞)上单调递增，g(x)≥g(1)=0，符合题意.

综上所述，a≥12，所以a的取值范围为1

方法二(分离参数，利用洛必达法则求最值)

当x≥1时，xf(x)≤a(x2-1)，

即lnx≤a(x2-1)，

①当x=1时，原不等式恒成立，所以a∈R，

②x1时，原不等式可化为a≥lnxx2-1，令φ(x)=lnx

所以φ(x)=x-

令m(x)=x-1x-2xlnx(x1)

所以m(x)=1+1x2-2(1+lnx)=1-x2x2-2lnx0在(

所以m(x)在(1，+∞)上单调递减，

所以m(x)m(1)=0，

所以φ(x)0在(1，+∞)上恒成立，

所以φ(x)在(1，+∞)上单调递减，

因为limx→1lnx

所以a≥12

综上，a≥12，所以a的取值范围是1

跟踪演练1解(1)由a=-2，

得f(x)=-2x+ln(x+1)，

定义域为(-1，+∞)，

则f(x)=-2+1x+1=

当x∈-1，-12时，f(

当x∈-12，+∞时，f

故f(x)的单调递增区间为-1，

单调递减区间为-1

(2)由f(x)=ax+ln(x+1)，

x∈(-1，+∞)，

得f(x)=a+1x

若a≥0，则显然f(2)=2a+ln30，不符合题意，

则a0，令f(x)=0，

解得x=-a+1a

则当x∈-1，

f(x)0，f(x)单调递增，

当x∈-a+1a，+∞时，f(x)0，f(x)单调递减，

f-a+1a=-a-1-ln(-

则-a-1-ln(-a)≤0，

即a+1+ln(-a)≥0，

令g(a)=a+1+ln(-a)，a0，

则g(a)=1+1a=a

当a∈(-∞，-1)时，g(a)0，g(a)单调递增，

当a∈(-1，0)时，g(a)0，g(a)单调递减，

所以g(a)max=g(-1)=0，

当满足g(a)≥0时，a=-1，

所以a的取值集合为{-1}.

例2解(1)由f(x)=(x-4)ex-x2+6x，

得f(x)=ex+(x-4