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微专题1函数的图象与性质

[考情分析]1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题.

考点一函数的概念与表示

1.复合函数的定义域

(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域.

(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域.

2.分段函数

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集.

例1(1)(多选)给出以下四个判断，其中正确的是()

A.已知函数f(x)的定义域为(1，+∞)，则函数F(x)=f(2x-3)+3?x

B.函数f(x)=x2的定义域A?R，值域B={4}，则满足条件的f(x)有2个

C.若函数f(lgx)=x，则f12=

D.函数y=x?2x

答案ACD

解析对于A，由题可知，2x?31,3?x≥0?x2,x≤3?2x≤3

对于B，令f(x)=x2=4，可得x=±2，故定义域A可以为{-2}，{2}，{-2，2}，共3个，即满足条件的f(x)有3个，故B错误；

对于C，令lgx=12，得x=10，所以f12=

对于D，y=x+1?3x

因为3x+1≠0，所以y

所以值域为{y|y≠1}，故D正确.

(2)[角谷猜想]“角谷猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谨证明.“角谷运算”指的是任取一个大于1的正整数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘以3再加上1.在这样一个变换下，我们就得到了一个新的正整数.如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，该猜想就是：反复进行角谷运算后，最后结果为1.我们记一个正整数n(n≠1)经过J(n)次角谷运算后首次得到1(若n经过有限次角谷运算均无法得到1，则记J(n)=+∞)，以下说法有误的是()

A.J(n)可看作一个定义域和值域均为N*的函数

B.J(n)在其定义域上不单调，有最小值，无最大值

C.对任意正整数n(n≠1)，都有J(n)J(2)=J(2n)-1

D.J(2n)=n是真命题，J(2n-1)≤J(2n+1)是假命题

答案A

解析依题意，J(n)的定义域是大于1的正整数集，A错误；

由J(4)=2，J(5)=5，J(8)=3，得J(n)在其定义域上不单调，而J(2)=1，J(n)∈N*，则J(n)有最小值1，由n经过有限次角谷运算均无法得到1，记J(n)=+∞，得J(n)无最大值，B正确；

对任意正整数n(n≠1)，J(2n)=J(n)+1，而J(2)=1，因此J(n)J(2)=J(n)=J(2n)-1，C正确；

对任意正整数n，2n每次除以2，最后得到1的次数为n，因此J(2n)=n，

由J(22-1)=J(3)=7，J(22+1)=J(5)=5，知J(2n-1)≤J(2n+1)是假命题，D正确.

[规律方法](1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.

(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.

跟踪演练1(1)(2024·临沂模拟)已知函数sgn(x)=1,x0,0,x=0,?1,x0,则“sgn(ex-1)+sgn(-x

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析因为sgn(x)=1,

当sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=0时，取x=-12，则ex-10，-x

此时sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=-1+1=0，则x1不成立，即充分性不成立；

当x1时，ex-10，-x+10，所以sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=1-1=0，即必要性成立，

所以“sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=0”是“x1”的必要不充分条件.

(2)已知a0，且a≠1，函数f(x)=loga(2x2+1),x≥0,ax,x0,若f(f

答案2?

解析由题可知，f(f(-1))=f(a-1)=loga(2a-2+1)=2，

则a2=2a-2+1，即a4-a2-2=0，

解得a2=2，故a=2(舍负).

当x≥0时，f(x)=log2(2x2+1)≤4

解得0≤x≤62

当x0时，f(x)=(2)x≤4恒成立.

故不等式的解集为?∞

考点二函数的图象

1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.

2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶