2025年高考数学二轮复习课件 微切口4　解析几何中常见的二级结论.docxVIP

微切口4解析几何中常见的二级结论

椭圆、双曲线共焦点

已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝θ，e1，e2分别是椭圆和双曲线的离心率，则eq\f(sin2\f(θ,2),eeq\o\al(2,1))＋eq\f(cos2\f(θ,2),eeq\o\al(2,2))＝1.

例1(1)已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为F1，F2，记它们其中的一个交点为P，且∠F1PF2＝eq\f(2π,3)，则该椭圆离心率e1与双曲线离心率e2必定满足的关系式为(C)

A．eq\f(1,4)e1＋eq\f(3,4)e2＝1 B．eq\f(3,4)eeq\o\al(2,1)＋eq\f(1,4)eeq\o\al(2,2)＝1

C．eq\f(3,4eeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,4eeq\o\al(2,2))＝1 D．eq\f(1,4eeq\o\al(2,1))＋eq\f(3,4eeq\o\al(2,2))＝1

【解析】不妨设焦点在x轴上，如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝eq\f(2π,3)，则在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)coseq\f(2π,3)，化简得3aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＝4c2，该式可化为eq\f(3,4eeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,4eeq\o\al(2,2))＝1.

(例1(1))

(2)已知F1，F2为椭圆C1：eq\f(x2,aeq\o\al(2,1))＋eq\f(y2,beq\o\al(2,1))＝1(a1＞b1＞0)与双曲线C2：eq\f(x2,aeq\o\al(2,2))－eq\f(y2,beq\o\al(2,2))＝1(a2＞0，b2＞0)的公共焦点，M是它们的一个公共点，且∠F1MF2＝eq\f(π,3)，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则e1e2的最小值为(A)

A．eq\f(\r(3),2) B．eq\r(3)

C．2 D．3

【解析】设椭圆C1、双曲线C2的共同半焦距为c，由椭圆、双曲线的对称性不妨令点M在第一象限，F1(－c，0)，F2(c，0)．由椭圆、双曲线定义知|MF1|＋|MF2|＝2a1，且|MF1|－|MF2|＝2a2，则有|MF1|＝a1＋a2，|MF2|＝a1－a2.在△F1MF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|·cos∠F1MF2，即4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)coseq\f(π,3)，整理得4c2＝aeq\o\al(2,1)＋3aeq\o\al(2,2)，于是得4＝eq\f(aeq\o\al(2,1),c2)＋eq\f(3aeq\o\al(2,2),c2)＝eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＋eq\f(3,eeq\o\al(2,2))≥2eq\r(\f(1,eeq\o\al(2,1))·\f(3,eeq\o\al(2,2)))＝eq\f(2\r(3),e1e2)，当且仅当eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＝eq\f(3,eeq\o\al(2,2))，即e1＝eq\f(\r(2),2)，e2＝eq\f(\r(6),2)时取等号，从而有e1e2≥eq\f(\r(3),2)，所以e1e2的最小值为eq\f(\r(3),2).

焦点弦问题

(1)若倾斜角为α的直线l过焦点F与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)交于A，B两点，则|AB|＝eq\f(2ab2,|a2－c2·cos2α|)；

(2)若焦点弦被焦点分成两部分m，n，则eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\f(2a,b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(抛物线中为\f(1,m)＋\f(1,n)＝\f(2,p)))；

(3)已知焦点在x轴上的椭圆或双曲线，经过其焦点F的直