1.1 空间向量及其运算（精讲）（解析版）.docx

1.1空间向量及其运算（精讲）

考点一空间向量的线性运算

【例1-1】（2022·湖南）如图，从长方体的八个顶点中任取两点作为向量的起点和终点：

(1)写出所有与相等的向量；

(2)写出的相反向量．

【答案】(1)(2)

【解析】(1)由题意可知，与相等的向量有；

(2)由题意可知，与的相反向量有.

【例1-2】（2022·全国·高二课时练习）已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式：(1)；(2)；(3).

【答案】(1)(2)(3)

【解析】(1)解：

(2)解：

(3)解：

【例1-3】（2022·全国·高二课时练习）在平行六面体中，若，则（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由空间向量的线性运算，得，由题可知，，

则，所以，.故选：A.

【一隅三反】

1．（2022·四川）如图，在平行六面体中，点M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（???????）.

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意，根据空间向量的运算法则，可得

.故选：A.

2（2022·江苏）已知空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（???????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

.

故选：B

3．（2022·云南玉溪）如图，在三棱锥中，点E在上，满足，点F为的中点，记分别为，则（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题设，，，，

.故选：B

4．（2022·全国·高二课时练习）根据如图的平行六面体，化简下列各式：

(1)；

(2).

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)在平行六面体中，

因为，，

所以；

(2)在平行六面体中，因为，所以

考点二空间向量的共线问题

【例2】（2022·湖南）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线．

【答案】证明见解析

【解析】，而，所以，故B，C，D三点共线．

【一隅三反】

1．（2022·湖南）如图，已知M，N分别为四面体A－BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线．

【答案】证明见解析

【解析】设

则

所以,

∴.

又BN∩BG＝B，∴B，G，N三点共线．

2．（2022·江苏）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若.

（1）用表示.

（2）求证：E，F，B三点共线.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）因为，，

所以，所以；

（2）

，

又与相交于B，所以E，F，B三点共线.

3．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．

【答案】证明见解析

【解析】证明：???连接，．

∵，

，

∴，∴．

又，∴，，三点共线．

考点三空间向量的共面问题

【例3-1】（2022·全国·高二）下列条件中，一定使空间四点P?A?B?C共面的是（???????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】对于A选项，，，所以点与、、三点不共面；

对于B选项，，，所以点与、、三点不共面；

对于C选项，，，所以点与、、三点不共面；

对于D选项，，,所以点与、、三点共面.故选：D.

【例3-2】（2022·江西南昌）若构成空间向量的一组基底，则下列向量不共面的是（???????）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】C

【解析】对于A，由，所以，，共面；

对于B，由，所以，，共面；

对于D，，所以，，共面，故选：C.

【例3-3】（2022·全国·高二）已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线可得，解之得

故选：D

【一隅三反】

1．（2022·全国·高二）已知，，三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定，，，四点共面的是（???????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设，若点与点共面，则，

对于选项A：，不满足题意；

对于选项B：，不满足题意；

对于选项C：，不满足题意；

对于选项D：，满足题意.故选：D.

2（2022·江苏常州）对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（???????）

A．一定不共面 B．一定共面

C．不一定共面 D．与点位置有关

【答案】B

【解析】由

，所以A，B，C，P四点共面，故选：B

3．（2022·全国·高二课时练习）已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（???????）

A．2 B． C．1 D．

【答案】B

【解析】，即整理得

由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，可得，解之得故选：B

4．（2022·全国·高三