1.1.1 集合及其表示方法 -【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第一册)（解析版）.docx

1.1.1集合及其表示方法

一、元素与集合的概念及表示

1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．

2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．

二、元素的特性

1、确定性

给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．

注意：如果元素的界限不明确，即不能构成集合。例如著名的科学家；比较高的人等

2、互异性

一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．

简记为“互异性”．

利用集合中元素的特异性求参数：

（1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么；

（2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．

（3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．

3、无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．

三、元素与集合的关系

1、属于与不属于概念：

（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．

（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a?A．

2、元素与集合关系的判断方法：

（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．

（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．

四、常用的数集及其记法

名称

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

记法

或

五、列举法

把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．

注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．

(2)集合中的元素必须是明确的．

(3)集合中的元素不能重复．

(4)集合中的元素可以是任何事物．

六、描述法

1、定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．

2、用描述法表示集合

（1）首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．

一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．

（2）若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．

（3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．

题型一判断元素能否构成集合

【例1】下列给出的对象能构成集合的是（）

A．平面直角坐标系内y轴附近的点B．26个英文字母

C．新华书店中有意义的小说D．的近似值

【答案】B

【解析】选项A，C，D中的对象不具有确定性，故不能构成集合；

选项B中的26个英文字母能构成集合，故选：B.

【变式1-1】下列对象能构成集合的是（）

A．高一年级全体较胖的同学

B．接近于0的数

C．全体很大的自然数

D．平面内到三个顶点距离相等的所有点

【答案】D

【解析】A中的“较胖”、B中的“接近于”和C中的“很大”都没有一个明确的标准，

不满足元素的确定性，所以A，B，C中的对象均不能构成集合，

显然D中的对象满足元素的确定性，则能构成集合．故选：D．

【变式1-2】面各组对象中不能形成集合的是（）

A．所有的直角三角形B．一次函数

C．高一年级中家离学校很远的学生D．大于2的所有实数

【答案】C

【解析】所有的直角三角形，能形成直角三角形集合，

一次函数，元素是确定的，可以形成集合，

大于2的所有实数，能形成集合，

而高一年级中家离学校很远的学生，这里的“很远”的标准不确定，

因而这里的学生就不确定，

所以高一年级中家离学校很远的学生不能形成集合，故选：C

【变式1-3】给出下列表述：①联合国常任理事国；②充分接近的实数的全体；③方程的实数根④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是（）

A．①③B．①②C．①②③D．①②③④

【答案】A

【解析】①联合国的常任理事国有：中国、法国、美国、俄罗斯、英国.所以可以构成集合.

②中的元素是不确定的，不满足集合确定性的条件，不能构成集合.

③方程的实数根是确定，所以能构成集合.

④全国著名的高等院校.不满足集合确定性的条件，不构成集合.故选：A

【变式1-4】下面能构成集合的是（）

A．中国的小河流