1.2.11.2.2 命题与量词、全称量词命题与存在量词命题的否定-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第一册)（原卷版）.docx

1.2.11.2.2命题与量词、全称量词命题与存在量词命题的否定

一、命题

定义：可供真假判断的陈述句就是命题。

判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题。

【注意】一个命题，要么是真命题，要么是假命题，不能同时既是真命题又是假命题，也不能模棱两可、无法判断是真命题还是假命题。

二、全称量词与全称量词命题

1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示．

【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；

（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”

2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．

对集合M中的任意一个x，成立（M表示变量x的取值范围），

符号表示为：对．

【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；

（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；

（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。

如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。

三、存在量词与存在量词命题

1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，

称为全存在量词，用符号“”表示．

【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；

2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题．

存在集合M中的元素x，成立（M表示变量x的取值范围），简记为：对．

【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；

（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；

（3）有些命题虽然没有写出存在量词，

但其意义具备“存在”、“有一个”等特征的命题都是存在量词命题

四、全称量词命题与存在量词命题的真假判断

1、判断全称量词命题真假：

若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；

若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可；

2、判断存在量词命题真假：

只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，

则这个命题为真，否则为假。

五、命题的否定

1、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定．

2、全称量词命题的否定：

一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题：．

3、存在量词命题的否定：

一般地，存在量词命题“”的否定是全称量词命题：．

4、命题与命题的否定的真假判断：

一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．

即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．

5、常见正面词语的否定：

正面词语

等于（＝）

大于（＞）

小于（＜）

是

都是

否定

不等式（≠）

不大于（≤）

不小于（≥）

不是

不都是

正面词语

至多有一个

至少有一个

任意

所有

至多有n个

否定

至少有两个

一个都没有

某个

某些

至少有n+1个

题型一命题的真假判断

【例1】关于区间，有下列四个命题：

甲：小于1的数都不在区间I内

乙：区间I内不存在两个数互为倒数

丙：区间I内存在小于1的数

丁：区间I内每个数的平方都大于它本身

如果只有一个假命题，则该命题是（）

A．甲B．乙C．丙D．丁

【变式1-1】下列命题是假命题的有（）

A．若，那么B．若，那么

C．若，那么D．若，那么

【变式1-2】下列命题为假命题的是（）

A．若，则B．若，则

C．若，则D．若，则

【变式1-3】给出下列命题：①2021年9月10日是教师节，也是中秋节；②9的整数倍一定是3的整数倍；③的解是.其中真命题的个数有（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

【变式1-4】（多选）给出以下四个命题，其中真命题是（）

A．命题“若互为相反数，则”

B．命题“两个全等三角形的面积比等于周长比的平方”

C．命题“若，则有实根”

D．命题“若是正整数，则都是正整数”

题型二全称量词命题与存在量词命题的判断

【例2】下列命题是全称量词命题的是（）

A．有些平行四边形是菱形B．至少有一个整数，使得是质数

C．每个三角形的内角和都是180°D．，

【变式2-1】下列命题中全称量词命题的个数为（）

①正方形的对角线互相平分；

②每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；

③存在一个菱形，它的四条边不相等.

A．B．C．