线性代数（第5版)课件：向量空间.ppt

机动目录上页下页返回结束线性代数复习向量组的秩与矩阵的秩向量空间概念基、维数与坐标子空间及其维数2.任一n维向量都是Rn的基本单位向量组的线性组合:1.是的线性组合(可由线性表示)有解(组合系数就是方程组的一个解)3.可表示为的线性组合复习有非零解(无)(只有零解)rn(r=n)5.线性相关线性相关不全为0，4.线性无关仅当k1=k2=…=ks=0时成立.重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系.可否由线性表示——竖排行变换，放末列.是否线性相关——竖排行变换.(线性无关)(任一向量都不能由其余向量线性表示)定理3.部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关定理4.短无关，则长无关；长相关，则短相关.定理6.线性无关，线性相关可由唯一线性表示.定理1.n个n维向量线性相关(线性无关)(不为0)定理2.向量个数向量维数，其排成的行列式值为0向量组线性相关.其中至少有一个向量是其余向量的线性组合定理5.向量组线性相关定理8.向量组与其极大无关组等价.推论向量组的任意两个极大无关组等价定理7.向量组(I)可由(II)，(II)可由(Ⅲ)线性表示向量组(I)可由(Ⅲ)线性表示定理9向量组可由线性表示,若ts，则向量组线性相关.推论1(逆否命题)线性表示线性无关，且可由定理10推论：等价的向量组秩相等.可由线性表示3.3向量组的秩一、极大无关组二、等价向量组三、向量组的秩四、典型例题推论2等价的线性无关向量组所含向量个数相等.推论3向量组的所有极大无关组所含向量个数相等.五、向量组的秩与矩阵的秩矩阵的行秩:矩阵的行向量组的秩矩阵的列秩:矩阵的列向量组的秩定理11矩阵A的行秩＝列秩＝秩(“三秩相等”定理)由“重要结论:行变换不改变列向量间的线性关系”理解定理:初等行变换行阶梯形,r(A)=行阶梯形矩阵非零行的行数=A的行秩=A的列秩同理三秩相等典型代表向量的线性运算满足如下8条运算公理：一、向量空间概念称（Rn，+，．，R）为一个向量空间。所有二维向量的集合——二维向量空间R2——即整个坐标平面.三维向量空间R3为普通几何空间.线性空间的八条公理概念的背景设某三维向量，即坐标为：即:任一三维向量的坐标即为该向量用三维向量空间R3的极大无关组线性表示时的组合系数.称为R3的一组基.实际上R3的任一极大无关组称作R3的一组基(秩即为空间的维数),某三维向量由其线性表示时的组合系数称作该向量在这组基下的坐标.(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)xyz二、基、维数与坐标定义设V是向量空间,若向量组满足(1)线性无关;(2)V中任一向量都可由线性表示.则称为空间V的一组基，n称为V的维数，记dimV=n，并称V为n维向量空间.若则称(a1,a2,…,an)为关于基的坐标.注:(1)某n个向量是Rn的基其排成的行列式值≠0.(2)n维向量关于某一组基的坐标唯一.(3)标准正交基:关于标准正交基的坐标为(a1,a2,…,an)例1证明是R4的一组基，并求在这组基下的坐标.同时可以证明线性无关!直接将向量表示为的线性组合!分析：解:线性无关，且即是一组基,向量在其下的坐标为三、子空间及其维数定义设V是向量空间，W是V的非空子集，若W关于V的加法和数乘运算也构成向量空间，则称W是V的一个子空间。是R3的一个非空子集---几何空间中Oxy平面上全体向量