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3.2基本不等式
一、基本不等式
1、给定两个正数,,数称为,的算数平均数;数称为,的几何平均数
2、如果,是正数,那么,当且仅当时,等号成立.
3、几何意义:所有周长一定的矩形中,正方形的面积最大
4、重要不等式:,(当且仅当时取号).
5、由公式和引申出的常用结论
①(同号);
②(异号);
③或
二、基本不等式的证明
1、法一:几何面积法
如图,在正方形中有四个全等的直角三角形.
设直角三角形的两条直角边长为、,那么正方形的边长为.
这样,4个直角三角形的面积的和是,正方形的面积为.
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,所以:.
当直角三角形变为等腰直角三角形,即时,正方形缩为一个点,
这时有.
得到结论:如果,那么(当且仅当时取等号“=”)
特别的,如果,,我们用、分别代替、,可得:
如果,,则,(当且仅当时取等号“=”).
通常我们把上式写作:如果,,,(当且仅当时取等号“=”)
2、法二:代数法
∵,
当时,;当时,.
所以,(当且仅当时取等号“=”).
三、利用基本不等式求最值
1、在用基本不等式求函数的最值时,要满足三个条件:一正二定三取等.
①一正:各项均为正数;
②二定:含变数的各项的和或积必须有一个为定值;
③三取等:含变数的各项均相等,取得最值.
2、积定和最小,和定积最大
(1)设x,y为正实数,若x+y=s(和s为定值),则当x=y时,积xy有最大值,且这个值为.
(2)设x,y为正实数,若xy=p(积p为定值),则当x=y时,和x+y有最小值,且这个值为.
四、基本不等式的实际应用
基本不等式常用于求解与最值有关的实际问题,具体步骤如下:
(1)先理解题意,设出变量,设变量时一般要把要求最大值或最小值的变量定为因变量;
(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;
(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;
(4)根据实际意义写出正确的答案。
题型一对基本不等式的理解
【例1】对于任意a,b∈R,下列不等式一定成立的是()
A.B.C.D.2
【变式1-1】(多选)当a,时,下列不等关系不成立的是()
A.B.C.D.
【变式1-2】(多选)已知,,给出下列四个不等式,其中正确的不等式有()
A.B.C.D.
【变式1-3】(多选)下列各不等式,其中正确的是()
A.B.
C.D.
【变式1-4】(多选)下列结论中正确的是()
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
题型二利用基本不等式求最值
【例2】已知x,y∈R+,且x+4y=1,则xy的最大值为________.
【变式2-1】(1)已知,则取得最大值时的值为________.
(2)已知,则的最大值为________.
【变式2-2】已知实数满足,则的最小值为()
A.B.C.D.
【变式2-3】若实数m,n满足,则的最大值为().
A.2B.3C.D.4
【变式2-4】设x,y是正实数,且x+y=1,则的最小值是________.
题型三利用基本不等式证明不等式
【例3】已知,,,求证:
(1);
(2).
【变式3-1】已知,求证:.
【变式3-2】已知a,b,c均为正实数.
(1)求证:.
(2)若,求证:.
【变式3-3】设a,b,c均为正数,且,证明:
(1);
(2).
题型四利用基本不等式解恒成立问题
【例4】若正数、满足,若不等式的恒成立,则的最大值等于()
A.B.C.D.
【变式4-1】若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
【变式4-2】已知,,若不等式恒成立,则的最大值为()
A.B.C.D.
【变式4-3】已知,,且,若不等式恒成立,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
【变式4-4】已知对任意正实数,,恒有,则实数的最小值是______.
题型五基本不等式在实际中的应用
【例5】如图,欲在山林一侧建矩形苗圃,苗圃左侧为林地,三面通道各宽,苗圃与通道之间由栅栏隔开.
(1)若苗圃面积,求栅栏总长的最小值;
(2)若苗圃带通道占地总面积为,求苗圃面积的最大
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