高数上极限知识点总结.pptxVIP

高数上极限知识点总结演讲人：02-09

CONTENTS极限的基本概念与性质极限的计算方法极限存在的条件与证明方法极限的应用与实际问题解决极限思想与数学分析的关系拓展内容：复变函数与实变函数的极限目录

01极限的基本概念与性质PART

函数在某一点或无穷远处的取值趋势，即无限趋近于某个值但不等于该值。极限的直观定义使用“lim”符号和箭头表示变量趋近的过程，如lim(x→a)f(x)=A。极限的表示方法基于ε-δ语言或数列的收敛性来描述，确保数学严谨性。极限的严格定义极限的定义及表示方法010203

函数在某点极限存在的充分必要条件是左极限等于右极限。极限存在准则包括加法、减法、乘法、除法的极限运算法则，以及复合函数的极限运算法则。极限的运算法则在求极限过程中，可以通过函数的单调性或夹逼准则来推断极限的符号或范围。极限的保号性极限存在准则与运算法则

无穷大与无穷小的比较无穷大的定义与性质无穷大是变量在变化过程中无限增大的趋势，不是具体的数。无穷小的定义与性质无穷小是变量在变化过程中无限趋近于零的趋势，也不是具体的数。无穷大与无穷小的关系无穷大与无穷小在数轴上具有对称性，且可以相互转化。无穷大与无穷小的比较通过比较函数在无穷大或无穷小处的增长速度或衰减速度来确定它们之间的关系。

lim(x→a)[f(x)-g(x)]=lim(x→a)f(x)-lim(x→a)g(x)。减法法则lim(x→a)[f(x)×g(x)]=lim(x→a)f(x)×lim(x→a)g(x)。乘法法im(x→a)[f(x)+g(x)]=lim(x→a)f(x)+lim(x→a)g(x)。加法法则lim(x→a)[f(x)/g(x)]=lim(x→a)f(x)/lim(x→a)g(x)，需保证分母极限不为零。除法法则极限的四则运算法则

02极限的计算方法PART

通过代数运算，如因式分解、约分、通分等，化简表达式，再求极限。多项式或分式的极限利用幂的性质，如指数函数的极限、对数函数的极限等，将幂转化为易求极限的形式。幂的极限利用三角函数的性质，如正弦函数、余弦函数的极限等，求解包含三角函数的极限。三角函数的极限代数法求极限010203

夹逼准则如果一个数列或函数被两个逐渐逼近的数列或函数所夹，且这两个数列或函数的极限相同，则可以推断出该数列或函数的极限。单调有界准则如果一个数列是单调递增（或递减）且有界，则它必定有极限。夹逼准则与单调有界准则应用

在一定条件下，通过求导来计算极限的方法。适用于“0/0”型或“∞/∞”型的极限。洛必达法则分子和分母在求导后极限存在且分母不为零；如果极限是“0/0”型或“∞/∞”型，则可以使用洛必达法则；如果极限是“∞-∞”型、“0*∞”型等其他形式，则需要先转化为“0/0”型或“∞/∞”型再应用洛必达法则。使用条件洛必达法则及其使用条件

泰勒公式将函数在某点展开为幂级数，通过截断误差项，得到函数的近似表达式。在求极限中的应用泰勒公式在求极限中的应用通过泰勒公式，将复杂的函数转化为简单的多项式函数，从而更容易求极限。同时，可以利用泰勒公式的余项估计误差大小，提高计算的精度。0102

03极限存在的条件与证明方法PART

函数在该点的左极限和右极限存在且相等。函数在某点极限存在的充分条件函数在该点附近必须有定义，且左极限和右极限均存在。函数在某点极限存在的必要条件当函数在某点的极限为无穷大（或无穷小）时，函数在该点极限不存在。无穷大与无穷小函数极限存在的条件

数列的子数列极限存在且相等，或数列单调有界。数列极限存在的充分条件数列必须收敛，即当项数趋于无穷大时，数列的项趋于某一确定的值。数列极限存在的必要条件若数列的极限存在且为有限值，则数列的四则运算后的极限仍存在，且等于各极限值进行相应运算的结果。数列极限的四则运算数列极限存在的条件

夹逼准则（挤压定理）若一个数列（或函数）在某一极限过程中被两个趋于相同极限的数列（或函数）所夹逼，那么这个数列（或函数）的极限也存在且等于这两个夹逼数列（或函数）的公共极限。极限存在的夹逼准则证明方法应用夹逼准则证明数列极限通过构造两个收敛于同一极限的数列，将待求数列夹在中间，从而证明待求数列的极限存在并等于这两个数列的极限。应用夹逼准则证明函数极限类似地，通过构造两个在某一极限过程中趋于相同极限的函数，将待求函数夹在中间，从而证明待求函数的极限存在并等于这两个函数的极限。

单调有界数列必有极限的证明单调有界数列的定义一个数列如果从某一项开始单调递增（或递减），并且存在一个正数（或负数）界，则称该数列为单调有界数列。单调有界数列必有极限的定理任何单调有界数列都必定收敛，即其极限存在。定理的证明假设数列{x_n}单调递增且有上界M，则可以构造一个数列{y_n}，使得y_n=x_