晶格振动的经典理论.pptVIP

周期性边界条件（Born－Karman边界条件）上面求解假定原子链无限长，这是不现实的，确定何种边界条件才既能使运动方程可解，又能使结果符合实际晶体的测量结果呢？Born－Karman最早利用周期性边界条件解决了此问题，成为固体理论的一个典范。所谓周期性边界条件就是将一有限长度的晶体链看成无限长晶体链的一个重复单元，即：n=任意整数，但考虑到q值的取值范围，n取值数目是有限的：只有布里渊区内的N个整数值。周期性边界条件并没有改变方程解的形式，只是对解提出一定的条件，q只可取N个不同的值，每个q对应着一个格波。引入周期性边界条件后，波数q不能任意取值，只能取分立的值。在q轴上，相邻两个q的取值相距，即在q轴上，每一个q的取值所占的空间为：所以，q值的分布密度（单位长度上的模式数目）：L＝Na为晶体链的长度。第一布里渊区中波数q的取值总数等于晶体链的原胞个数，即：晶格振动格波的总数=N·1=晶体链的总自由度数。至此，我们可以有把握的说找到了原子链的全部振动模。12345一维：－π/aq≤π/a在第一布里渊区内，q点的分布均匀，每个q点的“体积”为2π／(Νa)＝b/N；在第一布里渊区内q可取N个值：，l为整数三维：q仍在第一布里渊区内取值，共有N个值（初基原胞数）波矢取值其中L1、L2、L3＝0，±1,±2······，b1、b2、b3是倒格子基矢，N1，N2，N3是a1，a2，a3方向的初基原胞数。每一组整数（L1,L2,L3）对应一个波矢量q。将这些波矢在倒空间逐点表示出来，它们仍是均匀分布的。每个点所占的“体积”等于“边长”为(b1/N1)、(b2/N2)、(b3/N3)的平行六面体的“体积”，它等于：030201上式中Ω*是倒格子原胞的“体积”，也就是第一布里渊区的“体积”，而Ω*＝(2π)3/Ω，所以每个波矢q在倒空间所占的“体积”为：其中V=NΩ为晶体体积。在倒空间，波矢q的密度为一维原子链第一布里渊区内的色散关系：周期性，在q空间的周期为2?/a；2.关于Oω轴对称；3.频率的极小值为0，极大值在简约区边界03和弹性波的结果一致。02在长波长极限区，即时，格波就是弹性波。01随着q的增长，ω数值逐渐偏离线性关系，变得平缓，在布里渊区边界，格波频率达到极大值。相速和群速：相速度是单色波单位时间内一定的振动位相所传播的距离。群速度是平均频率为ω，平均波矢为q的波包的传播速度，它是合成波能量和动量的传播速度。在的长波极限下：即声速。在布里渊区边界处：群速度为零，这是因为此时近邻原子散射的子波与入射波位相相差π，由B原子反射的子波到达近邻A原子处时恰好和A原子反射的子波同位相，对所有原子的散射波都满足上述条件，所以当时，散射子波之间发生相长干涉，结果反射达到最大值，并与入射波相结合，形成驻波，群速度为零。这和X射线衍射的Bragg条件是一致的，也同样显示了布里渊区边界的特征。它们都是由于入射波的波动性和晶格的周期性所产生的结果。入射波反射波所以一维单原子就像一个低通滤波器，它只能传播的弹性波，高于频率的弹性波被强烈衰减。1该图表明了波矢的等价性，是以移动一个倒格矢量为准。2上面求解可以推广到平面点阵，但有纵波和横波之分，它们的原子位移状况是不同的，横波情形可用同样方法求解，也将得到类似结果。见kittelP68图二.一维双原子链的晶格振动运动方程及其解：考虑一个由质量m和质量M两种原子（设Mm）等距相间排列的一维双原子链，设晶格常数为2a，平衡时相邻两原子的间距为a，原子间的力常数为?。在t时刻，两种原子的位移分别为：若只考虑近邻原子间的弹性相互作用，则运动方程为：01试解：03代入方程得：050204有解条件是久期方程为零：解得:01020304解的三种表达式④⑤⑥是等价的，下面讨论时可任选其一。05一维单原子链一维双原子链得到了两个解，两种色散关系，它们都是q的周期函数，和一维单原子相同的讨论可知，q取值范围也在第一布里渊区（）内。此时点阵基矢是2a，倒易点阵基矢是称约化质量。一维双原子链晶体可作带通滤波器图中带隙2a为原胞尺寸01零点和布里渊边界数值的确定：利用④式讨论。02结果绘在上图中。由③－2