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2025届浙江省杭州第四中学高三下学期一模考试数学试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在边长为的菱形中,,沿对角线折成二面角为的四面体(如图),则此四面体的外接球表面积为()
A. B.
C. D.
2.已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上,其底面边长为4,、、分别为侧棱,,的中点.若在三棱锥内,且三棱锥的体积是三棱锥体积的4倍,则此外接球的体积与三棱锥体积的比值为()
A. B. C. D.
3.复数().
A. B. C. D.
4.已知各项都为正的等差数列中,,若,,成等比数列,则()
A. B. C. D.
5.已知,,则的大小关系为()
A. B. C. D.
6.曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为()
A.3 B.2 C. D.1
7.在平行六面体中,M为与的交点,若,,则与相等的向量是()
A. B. C. D.
8.某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2016年和2019年的高考情况,得到如图柱状图:
则下列结论正确的是().
A.与2016年相比,2019年不上线的人数有所增加
B.与2016年相比,2019年一本达线人数减少
C.与2016年相比,2019年二本达线人数增加了0.3倍
D.2016年与2019年艺体达线人数相同
9.已知三棱锥的外接球半径为2,且球心为线段的中点,则三棱锥的体积的最大值为()
A. B. C. D.
10.已知,则p是q的()
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
11.若实数满足不等式组,则的最大值为()
A. B. C.3 D.2
12.已知是虚数单位,若,,则实数()
A.或 B.-1或1 C.1 D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知半径为的圆周上有一定点,在圆周上等可能地任意取一点与点连接,则所得弦长介于与之间的概率为__________.
14.已知若存在,使得成立的最大正整数为6,则的取值范围为________.
15.设满足约束条件,则的取值范围为__________.
16.已知函数,则曲线在点处的切线方程为___________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)4月23日是“世界读书日”,某中学开展了一系列的读书教育活动.学校为了解高三学生课外阅读情况,采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组(每名学生只能参加一个读书小组)学生抽取12名学生参加问卷调查.各组人数统计如下:
小组
甲
乙
丙
丁
人数
12
9
6
9
(1)从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人,求这2人来自同一个小组的概率;
(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人,用表示抽得甲组学生的人数,求随机变量的分布列和数学期望.
18.(12分)已知椭圆的右焦点为,过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为,且与短轴两端点的连线相互垂直.
(1)求椭圆的方程;
(2)若圆上存在两点,,椭圆上存在两个点满足:三点共线,三点共线,且,求四边形面积的取值范围.
19.(12分)已知函数.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,且,求的值.
20.(12分)百年大计,教育为本.某校积极响应教育部号召,不断加大拔尖人才的培养力度,为清华、北大等排名前十的名校输送更多的人才.该校成立特长班进行专项培训.据统计有如下表格.(其中表示通过自主招生获得降分资格的学生人数,表示被清华、北大等名校录取的学生人数)
年份(届)
2014
2015
2016
2017
2018
41
49
55
57
63
82
96
108
106
123
(1)通过画散点图发现与之间具有线性相关关系,求关于的线性回归方程;(保留两位有效数字)
(2)若已知该校2019年通过自主招生获得降分资格的学生人数为61人,预测2019年高考该校考人名校的人数;
(3)若从2014年和2018年考人名校的学生中采用分层抽样的方式抽取出5个人回校宣传,在选取的5个人中再选取2
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