人教版数学九年级下册28.2利用仰、俯角解直角三角形 教学设计.docxVIP

2025年

利用仰、俯角解直角三角形

教学目标

1.了解仰角、俯角等有关概念,经历对实际问题的探究,会利用解直角三角形的知识解决实际问题.

2.通过在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单实际问题.

3.经历将实际问题转化为数学问题的探究过程,提高应用数学知识解决实际问题的能力.

4.通过探索用解直角三角形知识解决仰角、俯角等有关问题,让学生体会数学知识的发生、发展、应用过程,并发展学生的动手能力.

5.经历从实际问题构建数学模型的过程,体会数学来源于生活又应用于生活

教学重点

1.能根据题意画出示意图,将实际问题的数量关系转化为直角三角形元素之间的关系.

教学难点

2.正确理解题意,将实际问题转化为数学模型的建模过程.

教学过程

（一）复习提问

1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.

(1)三边a,b,c有什么关系?

(2)∠A,∠B有怎样的关系?

(3)边与角之间有怎样的关系?

2.解直角三角形应具备怎样的条件?

【师生活动】学生回答问题,教师点评归纳.

（二）新知讲解

1.活动一

(教材例3)2012年6月18日,“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行,如图所示,当组合体运行到地球表面P点的正上方时,从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6400km,π取3.142,结果取整数)?

思路一

师生合作探究

(1)从组合体上最远能直接看到的地球上的点,应该是视线与地球相切时的切点.

(2)根据题意画出平面图形.

(3)所要求的距离是图形中的哪条线段的长度?

(4)已知中有哪些条件?求弧长需要知道哪些条件?

(5)弧所对的圆心角在哪个三角形中?你能求出这个角的度数吗?

(如图②所示,☉O表示地球,点F是组合体的位置,FQ是☉O的切线,切点Q是从组合体中观测地球时的最远点.弧PQ的长就是地面上P,Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出∠POQ(即α)的度数)

【师生活动】教师通过提出的问题引导学生分析思考,指导学生画出平面图形,分析已知条件和所求的结论,师生共同分析题意及解题思路后,学生独立完成并板书解题过程.

教师引导思考:

(1)要解决实际问题,首先要做什么?(将实际问题抽象成数学问题)

(2)如何根据题意画出平面图形?(地球平面图形是圆,组合体近似看作点)

(3)从组合体中看到的地球表面最远的点在什么位置?(过点作圆的切线,切点即为所求)

学生操作:画出平面示意图.

(4)最远点与P点的距离在示意图中指的是什么的长?

(5)如何求这段距离?和圆有什么关系?

(6)如何将所需数据转化为解直角三角形的知识?

【师生活动】学生尝试根据图形写出解题思路,教师巡视过程中及时帮助有困难的学生,展示解题过程,规范解题格式.

【展示】解答同思路一.

[设计意图]引导学生画出示意图,把实际问题转化为数学问题,分析实际问题中的数量关系,利用解直角三角形的知识解决实际问题,让学生经历作图、分析过程,体会数形结合思想在数学中的应用,提高学生分析问题、解决问题的能力.

2.活动二

【思考】平时我们观察物体时,我们的视线相对于水平线来说可有几种情况?

【归纳】视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角是仰角,视线在水平线下方的角是俯角.

(教材例4)热气球的探测器显示,从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球与楼的水平距离为120m,这栋楼有多高(结果取整数)?

教师引导分析:

(1)分析题意,已知条件有哪些?

(2)你能直接求出AB的长吗?

(3)如何求出BC的长?(线段BD与线段CD的和)

(4)在Rt△ABD中,能否求线段BD的长?

(5)在Rt△ACD中,能否求线段CD的长?

【展示】解:如图所示,α=30°,β=60°,AD=120.

∵tanα=BDAD,tanβ=CD

∴BD=AD·tanα=120×tan30°

=120×32=403

CD=AD·tanβ=120×tan60°

=120×3=1203.

∴BC=BD+CD=403+1203

=1603≈277(m).

因此,这栋楼高约为277m.

3.活动三

【思考】你能总结利用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程吗?

【师生活动】学生思考后小组合作交流,共同归纳解题过程,教师对学生的回答以鼓励为主,将学生的回答补充完整.

【归纳】

(1)将实际问题抽象成数学问题(画出示意图,将其转化为解直角三角形的问题);

(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数解直角三角形;

(3)