湖南省三湘名校教育联盟五市十校教研教改共同体2024-2025学年高三下学期2月入学大联考数学试题 含解析.docx

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三湘名校教育联盟五市十校教研教改共同体

2025届高三2月入学大联考

数学

本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷和答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上

无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

1．设集合，若，则

A．B．C．D．

2．的虚部为

A．B．C．D．

3．已知函数，则

A．B．1C．D．

4．已知非零向量满足，且，则

A．B．C．1D．

5．记数列的前项和为，若数列是公差为1的等差数列，则

A．1B．2C．2025D．2022

6．已知，则

A．1B．C．D．2

7．已知球与圆台的上下底面和侧面都相切，若圆台的母线长为6，下底面半径是上底面半径的2倍，则球

的表面积为

A．B．C．D．

8．在直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点，过点作轴的垂

线交于两点，连接并延长交于另一点，且，则的长轴长为

A．7或10B．6C．7或9D．10

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分．

9．已知函数，则

A．的最小值为

B．的最小正周期为

C．的图象关于直线对称

D．将的图象向右平移个单位长度，得到的图象

10．设，则使得“”成立的一个充分不必要条件是

A．B．C．D．

11．已知等比数列的公比，当取得最小值时，下列说法正确的是

A．B．不为整数

C．中有且仅有一项为奇数D．中的所有整数之和

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．某高三年级组采用随机抽样的方式抽取了20名学生在某次数学周测中解答填空压轴题的时间记录如下

表：

解答时间/分钟

频数2882

根据上表数据估计这20名学生解答时间的平均值为_________，中位数为_________．

13．已知为抛物线上一点，以为圆心，1为半径作得圆．过点作圆的两条切

线，切点分别为，则四边形MANB周长的最小值是________．

14．若，则________．

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（13分）记的内角所对的边分别为，且．

（1）求；

（2）若，求外接圆面积的最小值．

16．（15分）如图四棱锥中，平面，

．

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

17．（15分）在直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，且的实轴

长为4．

（1）求的标准方程；

（2）设的上焦点为，过第一象限上一点分别作直线与的垂线，垂足分别为点

，直线交于另一点，当四边形的面积为8时，求的值．

18．（17分）已知函数．

（1）若，且与在切点处的切线相同，求的值；

（2）在（1）的条件下，求函数的单调区间；

（3）若与的图象有两个不同的交点，探究与在这两个交点处是否各存在

一条与两函数图象相切的公切线？若存在，求出一组满足题意的的值；若不存在，给出证明．

19．（17分）在概率统计中，我们常常通过观测到的实验结果应用极大似然估计法来估计某参数的取值．设

为其分布列与未知参数有关的离散型随机变量，其中的取值范围为．若对已知结果，有

，且，有成立，则称为在下的一个极

大似然估计．

（1）（i）若服从二项分布，求在下的极大似然估计；

（ii）若服从二项分布，求在下的极大似然估计．

（2）若某台抽奖机上有一个按钮，参与者需要连续快速点击按钮来累积积分换取奖品．已知每次点击按钮

后，获得1积分的概率为，不获得积分的概率为．小丽参加这个抽奖活动后总共获得了

积分，用极大似然估计的方法估计她点击按钮的总次数的取值为，证明：，并指出等号成

立的条件．

三湘名校教育联盟五市十校教研教改共同体

2025届高三2月入学大联考·数学

参考答案、提示及评分细则

1．【答案】D

【解析】由可知，当时，，解得或，即

．故，故选D．

2．【答案】A

【解析】，其虚部