3.5.5 抽象函数-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第一册) (解析版).docx

抽象函数

1概念

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.

2常见抽象函数模型

特殊模型

抽象函数

正比例函数f

f

幂函数f

fxy=

指数函数f

fx+

对数函数f

fxy=

【题型一】求值问题

【典题1】已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的函数，且对任意x,y

【解析】∵对任意x，y∈(0,+∞)，都有f

∴f

f(8)=

【点拨】

①对于抽象函数求值问题，可大胆取特殊值求解；

②抽象函数f(xy)=f(x)+f

则易得f4=2，f8=3，作选填题可取.又如f(x+y)=f(x)

故要对常见抽象函数对应的函数模型比较熟悉.

【典题2】对任意实数x,y，均满足fx+y

则f(2001)=

【解析】令x=y=0

令x=n,

令n=1，得f1

∴f1

∴f

∴fn=

【点拨】

①常常需要赋予一些特殊值(如取x=0等)或特殊关系(如取y=x

②比如本题中所求的f(2001)中自变量的取值2001较大，往往要从周期性或者函数的解析式的方向入手

【题型二】单调性问题

设函数y=f(

①对任意正数x,y，都有f(xy)=f(x)+f

(1)求f(1),

(2)证明f(x)

(3)如果不等式f(x)+

【解析】(1)令x=y=1，

∴f

令x=y=3

且f(9)+

(2)(利用函数单调性的定义证明)

取x2x

∴由②得

∵

∴f

∴f(x

(3)由条件①得f[x(2-x)]2,

由f19=2

又∵f(x)

又∵x0，2-x0

解得x的范围是(1-2

【点拨】

①抽象函数的单调性常用单调性定义证明

任取x1,x

作差f

此步有时也会用作商法：判断fx1f

变形；

定号(即判断差fx1-

下结论(指出函数f(x)在给定的区间D

②在解不等式时，往往需要利用函数的单调性求解.

③抽象函数fxy=fx

由f3=-1可知f

【题型三】奇偶性问题

定义在R上的增函数y=f(x)

(1)求f(0)；

(2)证明：f(

(3)若f(k?3x

【解析】(1)在f(

令x=y=0可得，f

(2)(定义法证明函数奇偶性)

令y=-x，得

又f(0)=0，则有0=

即可证得f(

(3)因为f(x)在R上是增函数，又由(2)

fk

即有k?3x-3x

又有3x+23x-

即3x+2

所以要使f(k?

故k的取值范围是(-∞,22

【点拨】

判断或证明抽象函数的奇偶性，从奇偶性的定义入手，判断f(-x)与

②抽象函数fx+y=fx+fy

【题型四】周期性问题

奇函数f(x)定义在R上，且对常数T0，恒有f(x+

【解析】∵函数f(x)

故f(0)=0

又∵f(x

∴f

又由f(-T

∴f(T

故在区间[0,2T]，方程f(x)=0根有x=0，T2

个数最小值是5个，

【点拨】抽象函数的周期性常与奇偶性，对称性放在一起，记住有关周期性和对称性的结论，做题时常画图像更容易找到思路.

巩固练习

1(★★)f(x)的定义域为(0,+∞)，对任意正实数x,y都有f(xy)=

【答案】12

【解析】取x=y=2

取x=y=2

2(★★★)已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R都有fx

【答案】1±

【解析】根据题意，f(x)为偶函数且f

变形可得fx

即fx

令x=-1可得f

解可得：f(1)=f

又由f(x)

则有fx

联立可得：fx

变形可得：f(x+4)=

若f(x+4)=

此时有f(2019)=1±

若f(x+4)+

则有f(x+8)=2

则f(3)=2-f

综合可得：f(2019)=1

故答案为：1±22．

3(★★)f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0

【答案】13

【解析】∵f(x)

∴f(x

则f(0)=0，则f

∵f(2)=0，

f(1)=0，f(4)=0，

方程的解可能为0，3，6，－6

故选：D．

4(★★★)已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x

①对任意x,y∈(-∞,0)∪(0,+∞)，都有

②当x1时，f(x

(1)试判断函数f(

(2)判断函数f(x)

(3)求不等式f(3x-

【答案】(1)偶函数(2)2(3)x≤-2或x

【解析】(1)∵f

令x=y=

令x=y=

即f(

故函数f(x)是偶函数

(2)任取0x1

∵f

∴f

∴f

∵x2x11

∴f

得到f(

∴f(x

故函数f(x)在区间(0

又由函数f(

∴函数f(x)在区间[

故函数f(x)在区间[

(3)由(2)得f(4)=2，则f

故不等式f(3x－

由(2)中结论可得：|(3x

即(3x－2)

解得x≤－2或

5(★★★)已知定义在