第6章：幂函数、指数函数与对数函数重点题型复习（解析版）.docx

第6章：幂函数、指数函数与对数函数重点题型复习

题型一幂指对函数的判断

【例1】下列函数为幂函数的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】幂函数是形如的函数，故ABC不符合，D符合，故选：D

【变式1-1】下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】根据幂函数的定义：形如的函数是幂函数，排除A；

的定义域为，不关于原点对称，

所以是非奇非偶的函数，所以排除B;

是偶函数，所以排除C；

，既是幂函数，又是奇函数，所以选D.故选：D.

【变式1-2】下列函数是指数函数的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】对于A,是幂函数，

对于B，系数不为1，不是指数函数，

对于C,是底数为的指数函数，

对于D,底数不满足大于0且不为1，故不是指数函数，故选：C

【变式1-3】（多选）下列函数为对数函数的是()

A．y＝＋1(a＞0且a≠1)B．y＝(a＞0且a≠1)

C．y＝(a＞1且a≠2)D．y＝(a＞0且a≠1)

【答案】CD

【解析】由对数函数定义可知CD为对数函数，故选：CD.

题型二求幂指对函数的解析式

【例2】已知幂函数在第一象限单调递减，若，则函数的解析式为______.

【答案】，

【解析】因为函数是幂函数，所以，解得：或，

因为函数在第一象限单调递减，所以，即，

则，设，，

即，

所以函数的解析式为，

故答案为：，

【变式2-1】已知函数的图像过点和，求函数的解析式

【答案】

【解析】因为函数的图像过点和，

所以，解得，

所以.

【变式2-2】若函数是对数函数，则实数a的值为________．

【答案】2

【解析】因为函数是对数函数，

所以，解得．故答案为：2.

【变式2-3】若函数的反函数的图象过点，则（）

A．B．1C．2D．3

【答案】B

【解析】依题意，函数的反函数是，即函数的图象过点，

则，，于是得，

所以.故选：B

题型三求幂指对函数的定义域

【例3】函数的定义域为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由已知解得，所以f(x)的定义域为．故选：B．

【变式3-1】函数的定义域为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】由题意得，即，解得．故选：C.

【变式3-2】函数的定义域是___________.

【答案】

【解析】根据题意得

，解得，

所以函数的定义域为，

【变式3-3】函数的定义域是__________.

【答案】

【解析】要使函数有意义，则

，即，解得，.

所以，函数的定义域为.

题型四求幂指对函数的值域

【例4】函数，其中，则其值域为___________.

【答案】

【解析】设，则.

因为，所以；当时，.所以函数的值域为.

故答案为：

【变式4-1】若函数，则函数的值域为___________.

【答案】

【解析】由已知函数的定义域为

又，定义域需满足，

令，因为，

所以，

利用二次函数的性质知，函数的值域为

【变式4-2】幂函数的图象过点，则函数的值域是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】设，代入点得，，

则，令，

函数的值域是.故选：C.

【变式4-3】函数的值域是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】因为，所以，设，

因为，

令==，

令,则，

所以，

因为，由对勾函数的性质可得，

所以，所以，

所以以，即函数的值域为.故选：A.

【变式4-4】已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】函数，而函数是增函数，

当时，，则当时，函数值域为，

因函数的值域为，因此，在当时，函数取尽一切负数，

当，即时，，不符合题意，

当时，，也不符合题意，

当时，为增函数，

由可得，则需，解得，

所以实数的取值范围是：.故选：C

【变式4-5】已知函数在区间上的最大值为5，则实数___________.

【答案】

【解析】设，

设

所以.

设.

当时，无解；

当时，，

此时时，，所以舍去；

当时，如果则无解；

如果时，，，此时；

如果则无解.

综上所述，.

题型五幂指对函数的图象问题

【例5】已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（