第8章：函数的应用 重点题型复习（解析版）.docx

第8章：函数的应用重点题型复习

题型一求具体函数的零点

【例1】函数的零点是（）

A．1，-4B．4，-1C．1，3D．不存在

【答案】B

【解析】令，也即，解得：或，

所以函数的零点为，故选：.

【变式1-1】函数的零点是（）

A．B．C．D．9

【答案】B

【解析】当时，，解得

当时，，解得

所以函数的零点为：，故选：B

【变式1-2】函数的零点是________，定义域是___．

【答案】

【解析】令，即，

所以，，所以的零点为.

由得，，解得，

所以的定义域是.

【变式1-3】（多选）已知函数是奇函数，且满足，当时，，则函数在上的零点为（）

A．0B．C．D．

【答案】ABD

【解析】函数是奇函数，

且满足，

则，

，即函数的周期为4，对称轴为，

当时，，，

由题意作出函数的图像，如图所示，

可知函数在上的零点为：，，0，，，故选：ABD.

【变式1-4】若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则函数的零点是______.

【答案】

【解析】由题意，在中，在上是单调函数，，

设，则解得：

∴

当时，解得：

∴的零点是

题型二函数零点个数的判断

【例2】函数的零点个数为（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】C

【解析】函数的零点即的解，

即与图象的交点，如图所示，

从函数图象可知，与有两个交点.故选：C

【变式2-1】若定义在R上的偶函数满足，且时，，则方程的零点个数是（）

A．2个B．3个C．4个D．6个

【答案】C

【解析】由可知是周期为2的偶函数，

作函数与函数的图像如下：

方程的零点个数即函数与函数的交点个数，

由图像可知，有四个不同的交点，故选：C.

【变式2-2】高斯函数也称取整函数，记作，其中是指不超过的最大整数，例如，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.若函数，则函数的零点个数为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【解析】令，则，即，

令，，则与的交点个数即为的零点个数，

当时，，则；

当时，，则；

当时，，则；

当时，，则；

……

注意到，，，

所以可作出与的图像如图，

所以与有两个交点，故的零点个数为.故选：B.

【变式2-3】函数的零点个数为___________.

【答案】3

【解析】由题意知的零点个数等于

函数与图象的交点个数，

如图，作出函数与的图象，

由图象可知与的图象有3个交点，即的零点个数为3.

【变式2-4】已知函数和函数（其中）.

（1）求的值.

（2）用表示中的最大值，设函数，讨论函数零点的个数.

【答案】（1）0；（2）当时，有1个零点；当时，有2个零点；

当时，有3个零点.

【解析】（1）；

（2）①，故1为的一个零点，，

由于，则，所以，

即1为函数的零点；

②当时，，故在上无零点；

③当时，在上无零点，

所以在上的零点个数就是在上的零点个数.

因为，

故当，即时，函数无零点，即在上无零点；

当，即时，函数的零点为，即在上有零点；

当，即时，对称轴，

函数在上有两个零点，即函数在上有两个零点.

综上所述：当时，有1个零点；

当时，有2个零点；当时，有3个零点.

题型三函数零点所在区间的判断

【例3】函数的零点所在的一个区间是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】，则，，故函数在上有零点.故选：C

【变式3-1】函数的零点所在的区间为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】的定义域为，

，，

，，

因为，由函数零点存在定理得：零点所在的区间为．故选：B．

【变式3-2】在下列区间中，方程的解所在的区间是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】设，且，且为增函数，

根据函数零点存在定理知，方程在区间内有唯一的解.故选：B.

【变式3-3】函数的零点所在区间为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】由题设，是定义域在上连续不断的递增函数,

又，，

由零点存在定理可知,零点所在区间为.故选:.

【变式3-4】已知函数，若方程的实根在区间上，则k的所有可能值是______．

【答案】－3，－2或1

【解析】①由方程，解得：，

因为，故；

②由于方程即方程，

分别作出左右两边函数的图象，

从图象上可得出：方程在区间内有一个实根．

故方程在区间内有且仅有一个实根．此时，

下面证明：方程在区间内有一个实根，

函数，在区间和内各有一个零点，

因为时，，故函数在区间是增函数，

又，，即，

由零点存在性定