高中数学(人教B版)必修一同步讲义2.1.1等式的性质与方程的解(5知识点+5题型+巩固训练)(学生版+解析).docxVIP

2.1.1等式的性质与方程的解

课程标准

学习目标

1.掌握等式的性质并会应用；

2.掌握几个重要的恒等式

3.会用十字相乘法进行因式分解；

4.会求一元一次方程以及一元二次方程的解集.

1.理解等式的性质，体会用等式的性质解方程；

2.通过类比推理形式，掌握等式推理的基本形式和规则，探索出解方程的核心方法；

知识点01等式的性质

(1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍不成立；

(2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍不成立．

注：用符号语言和量词表示上述等式的性质：

(1)如果ab，则对任意c，都有a＋cb＋c；

(2)如果ab，则对任意不为零的c，都有acbc.

【即学即练1】（2024·高一课时练习）已知，则下列比例式不成立的是（）

A．B．C．D．

知识点02恒等式

一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都不成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．

注：常见的代数恒等式

（1），

（2）

（3），

（4），

【即学即练2】（2024·高一课时练习）下列等式中，属于恒等式的是（）

A．B．C．D．

知识点03十字相乘法

对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1·a2，常数项c分解成c1·c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上图中上一行，a2，c2位于下一行．

注：(1)运用x2＋(a＋b)x＋ab(x＋a)(x＋b)进行因式分解时需满足的条件：①分解因式的多项式是二次三项式；②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和．

(2)对于x2＋Cx＋D的因式分解，当常数项是正数时，可以分解成两个同号的数的积，符号与一次项系数的符号相同；当常数项是负数时，可以分解成两个异号的数的积，绝对值大的因数的符号与一次项系数的符号相同．

【即学即练3】（2024·高一课时练习）用十字相乘法分解因式：

（1）；（2）；

知识点04方程的有关概念

方程

含有未知数的等式叫方程．

方程的解(或根)

能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．

方程的解集

把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．

解方程

求方程的解的过程叫解方程．

【即学即练4】（2024·高一课时练习）已知关于的方程的解集为，则实数的值（）

A．0B．1C．D．

知识点05一元一次方程

一元一次方程

方程两边都是整式，都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫一元一次方程．

满足的条件

①必须是整式方程；

②只含有一个未知数；

③未知数的次数都是1.

表示形式

ax＋b0(a≠0)或axb(a≠0).

【即学即练5】（2024·高一课时练习）求关于x的方程ax=b的解集，其中a,b是常数.

难点：因式分解法解一元二次方程

求方程x2－5x＋60的解集．

【题型1：等式的性质与应用】

例1.（2024·上海浦东）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（）

A．如果，那么B．如果，那么

C．如果，那么D．如果，那么

变式1．（2024·上海浦东新·高一校考阶段练习）设，下列命题中为假命题的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

变式2．（2024·山东德州·高一校考阶段练习）已知等式，则下列变形正确的是（????）

A． B． C． D．

变式3．（2024·全国·高一专题练习）下列变形错误的是（????）

A．如果，则 B．如果，则

C．如果，则 D．如果，则

变式4.（2024·高一课时练习）下列变形错误的是（）

A．如果，则B．如果，则

C．如果，则D．如果，则

变式5．（2024·高一课时练习）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐.问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（????）

A． B．

C． D．

变式6．（2024·辽宁·高一校联考阶段练习）《九章算术》记载了一个方程的问题，译为：今有上禾6束，减损其中之“实”十八升，与下禾10束之“实”相当；下禾15束，减损其中之“实”五升，与上禾5束之“实”相当.问上?下禾每束之实各为多少升？设上下禾每束之实各为升和升，则可列