2025年高考数学二轮复习提升版学案 微切口1　裂项相消问题.pptxVIP

专题二特别策划——赢在中档题之高考微切口数列微切口1裂项相消问题

视角1指数型已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n，n∈N*．(1)判断数列{an－2n－1}是否是等比数列，并求数列{an}的通项公式；1【解答】因为a1＝3，所以a1－2×1－1＝0．因为等比数列中的各项都不可能为0，所以数列{an－2n－1}不是等比数列．由an＋1＝3an－4n，得an＋1－2(n＋1)－1＝3(an－2n－1)．因为a1－2×1－1＝0，所以an－2n－1＝0，从而an＝2n＋1．

视角1指数型已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n，n∈N*．1【解答】

变式1(2024·四川模拟)已知各项均为正数的数列{an}为等差数列，各项均为正数的数列{bn}为等比数列，a1＝b1＝2，a2，a4－1，a7成等比数列，b1，b3，b5－18成等差数列．(1)求{an}，{bn}的通项公式；【解答】又因为b1，b3，b5－18成等差数列，所以2×2q2＝2＋2q4－18，即q4－2q2－8＝0，解得q＝2或q＝－2(舍)，故bn＝2×2n－1＝2n．

变式1(2024·四川模拟)已知各项均为正数的数列{an}为等差数列，各项均为正数的数列{bn}为等比数列，a1＝b1＝2，a2，a4－1，a7成等比数列，b1，b3，b5－18成等差数列．【解答】

视角2无理型【解答】2

【解答】2

【解答】

【解答】

视角3通项裂项为“＋”型已知数列{an}的前n项和为Sn，且3(Sn－n)＝4(an－2)．(1)证明数列{an－1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；3【解答】当n＝1时，3(a1－1)＝4(a1－2)，解得a1＝5；当n≥2时，由3(Sn－n)＝4(an－2)可得3(Sn－1－n＋1)＝4(an－1－2)，两式相减可得an＝4an－1－3，即an－1＝4(an－1－1)，所以数列{an－1}是以5－1＝4为首项，4为公比的等比数列，所以an－1＝4·4n－1＝4n，即an＝4n＋1．

已知数列{an}的前n项和为Sn，且3(Sn－n)＝4(an－2)．3【解答】

三角型已知Sn是数列{an}的前n项和，2Sn＝(n＋1)an，a1＝1．(1)求数列{an}的通项公式；4【解答】视角4

已知Sn是数列{an}的前n项和，2Sn＝(n＋1)an，a1＝1．4【解答】所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(tan1－tan0)＋(tan2－tan1)＋(tan3－tan2)＋…＋[tann－tan(n－1)]＝tann－tan0＝tann．

配套热练

(1)求数列{an}的通项公式；【解答】

【解答】

(1)求数列{an}的通项公式；【解答】

【解答】

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；【解答】

经检验，a1＝2满足an＝n(n＋1)，所以数列{an}的通项公式为an＝n(n＋1)．经检验，b1＝3满足bn＝(2n－1)×3n，所以数列{bn}的通项公式为bn＝(2n－1)×3n．

【解答】

4．已知数列{an}满足a1＝2，2an＋1＋anan＋1－2an＝0(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；【解答】

4．已知数列{an}满足a1＝2，2an＋1＋anan＋1－2an＝0(n∈N*)．【解答】

5．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－n，n∈N*．(1)求数列{an}的通项公式；【解答】因为Sn＝2an－n①，所以当n＝1时，S1＝2a1－1，解得a1＝1；当n≥2时，Sn－1＝2an－1－(n－1)②，①－②得Sn－Sn－1＝2an－n－2an－1＋(n－1)，即an＝2an－2an－1－1，所以an＝2an－1＋1，an＋1＝2(an－1＋1)，所以{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，即an＋1＝2n，则an＝2n－1．

5．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－n，n∈N*．【解答】

【解答】因为{an}的各项均为正数，所以an＋1＝an＋1(n≥2)．故{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，即an＝n(n∈N*)．

【解答】由(1)得bn＝tanantanan＋1＝tanntan(n＋1)．

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