高中数学(人教B版)选择性必修一同步讲义2.6.2双曲线的几何性质(3知识点+8题型+巩固训练)(学生版+解析).docxVIP

2.6.2双曲线的几何性质

课程标准

学习目标

1.掌握双曲线的简单几何性质

2.理解双曲线离心率的定义，掌握离

心率的算法

1.重点:双曲线的渐近线、离心率等几何性质:

2.难点:双曲线的离心率的意义及算法

知识点01双曲线的几何性质

标准方程

eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)1(a0，b0)

eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)1(a0，b0)

性质

图形

焦点

F1(－c,0)，F2(c,0)

F1(0，－c)，F2(0，c)

焦距

|F1F2|2c

性质

范围

x≤－a或x≥a，y∈eq\a\vs4\al(R)

y≤－a或y≥a，x∈eq\a\vs4\al(R)

对称性

对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点

A1(－a,0)，A2(a,0)

A1(0，－a)，A2(0，a)

轴

实轴：线段A1A2，长：eq\a\vs4\al(2a)；虚轴：线段B1B2，长：eq\a\vs4\al(2b)；半实轴长：eq\a\vs4\al(a)，半虚轴长：eq\a\vs4\al(b)

离心率

eeq\a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)

渐近线

y±eq\f(b,a)x

y±eq\f(a,b)x

【即学即练1】（2024高二·江苏·专题练习）等轴双曲线的渐近线方程为（????）

A．y=±2x B．y=±3x

【即学即练2】（22-23高二上·全国·课后作业）已知双曲线C：x2

知识点02等轴双曲线

定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y±x，离心率为eeq\r(2).

注意：对双曲线的简单几何性质的几点认识

1.双曲线的焦点决定双曲线的位置；

2.双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．

3.巧设双曲线方程：与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)t(t≠0)．

【即学即练3】（2022高二·全国·专题练习）等轴双曲线的一个焦点为?6,0，则它的标准方程是（????）

A．x2?y

C．x2?y

【即学即练4】（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知等轴双曲线C的对称轴为坐标轴，且经过点A42,2

A．x236?y236=1 B．

知识点03双曲线与渐近线的关系

1、若双曲线方程为渐近线方程：

2、若双曲线方程为（a＞0，b＞0）渐近线方程：

3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，

4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）

【即学即练5】（21-22高二上·安徽合肥·期末）等轴双曲线的两条渐近线的夹角大小为（????）

A．π4 B．π3 C．π2

【即学即练6】（23-24高二下·全国·课后作业）已知双曲线16x

难点：数形结合的运用

示例1：（多选）（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）设F为双曲线C:x2

A．C的离心率为2 B．OA

C．OA+OB≤4

【题型1：双曲线的几何性质】

例1．（23-24高三下·重庆·期中）已知双曲线y2

A．y=±13x B．y=±3x

变式1．（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）已知双曲线C:x2a2

A．y=±77

C．y=±x

变式2．（2024·广西柳州·模拟预测）双曲线x2

A．5 B．4 C．455

变式3．（23-24高二上·江西景德镇·期末）共轭双曲线x24?

A．相同的离心率 B．公共焦点

C．公共顶点 D．公共渐近线

变式4．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知直线y=2x+m与双曲线

A．22 B．32 C．62

变式5．（多选）（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知a,b0,a≠

A．有相同的焦距 B．有相同的焦点

C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线

变式6．（多选）（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）已知椭圆C1:x216+y29

A．C1的长轴长与C2的实轴长相等 B．C1的短轴长与C2的虚轴长相等

C．焦距相等 D．离心率不相等

变式7．（23-24高三上·河南漯河·期末）已知双曲线C:mx2?y

变式8．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）若方程x2+m

【方法技巧与总结】

由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤：

1.把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键；

2.由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；

3.由c2a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质。

注意：求性质时一定要注意焦点的位置

【题型2：利用几何性质求标准方程】

例2．（2020·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为y=±

A．x24?y2

C．x24?y2