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相似三角形判定定理的证明第四章图形的相似九年级数学上册?北师大版
学习目标1、掌握相似三角形的判定定理;2、学会运用相似三角形的判定定理去解决实际问题;
导入新课温故知新问题:相似三角形的判定方法有哪些?①两角对应相等,两三角形相似.②两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.③三边对应成比例,两三角形相似.B’A’C’BAC
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似用数学符号表示:∵∠A=∠A,∴ΔABC∽ΔABC相似三角形的判定定理2:
两角分别相等的两个三角形相似.用数学符号表示:∵∠A=∠A,∠B=∠B∴ΔABC∽ΔABC相似三角形的判定定理1:
三边成比例的两个三角形相似用数学符号表示:∴△ABC∽△A1B1C1∵ABCA1B1C1相似三角形的判定定理3:
讲授新课知识点一证明相似三角形的判定定理已知:在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′.求证:△ABC∽△A′B′C′.B’A’C’BAC证明:两角分别相等的两个三角形相似
证明:在△A′B′C′的边A′B′、A′C′上,分别截取A′D=AB,A′E=AC,连接DE.∵A′D=AB,∠A=∠A′,A′E=AC,∴△A′DE≌△ABC,∴∠A′DE=∠B,又∵∠B′=∠B,∴∠A′DE=∠B′,∴DE∥B′C′,B’A’DEC’BAC已知:在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′.求证:△ABC∽△A′B′C′.
过D连接DF//A′C′∵DF//A′C′,DE∥B′C′∴四边形EDFC′是平行四边形∴DE=FC′,∵∴△A′DE∽△A′B′C′,∴△A′B′C′∽△ABC.BACB’A’DEC’F
已知:在△ABC与△A′B′C′中,∠A=∠A′,证明:在△A′B′C′的边A′B′上截取点D,使A′D=AB.过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.∵DE∥B′C′,∠ADE=∠B′,∠A′ED=∠C′∴△A′DE∽△A′B′C′.求证:△A′B′C′∽△ABC.BACB’A’DEC’证明:两边成比例夹角相等的两个三角形相似.
∵A′D=AB,∴A′E=AC.又∠A′=∠A.∴△A′DE≌△ABC,∴△A′B′C′∽△ABC.BACDEBAC
ABCA1B1C1证明:三边成比例的两个三角形相似已知:在△ABC与△A1B1C1中,求证:△ABC∽△A1B1C1
证明:在△A1B1C1的边A1B1(或延长线)上截取A1D=AB,过点D作DE∥B1C1交A1C1于点E.∵DE∥B1C1,∴△ADE∽△A1B1C1.ABCA1B1C1DE已知:在△ABC与△A1B1C1中,求证:△ABC∽△A1B1C1
∴又∴∴∴(SSS)∵∴ABCA1B1C1DE
典例精析例1.如图,已知AD∥BC,∠A=∠BDC=90°.(1)求证:BA·BC=DB·DC;(2)若BD=6,DC=8,求AB的长.证明:∵AD∥BC∴∠ADB=∠DBC又∠A=∠BDC=90°∴△ABD∽△DCB∴,∴BA·BC=DB·DC;
(2)∵△ABD∽△DCB∴,又∵BD=6,DC=8,∴BC=∴AB=.
.例2.如图,CD是Rt△ABC斜边上的高,∠ACB=90°.求证:(1)△ACD∽△CBD;(2)AD·BD=CD2.证明:(1)∵∠A+∠ACD=90°,∠BCD+∠ACD=90°,∴∠A=∠BCD又∵CD是Rt△ABC的高,∴∠ADC=∠CDB=90°∴△ACD∽△CBD.(2)由(1)知△ACD∽△CBD,∴∴AD·BD=CD2.
例3.如图
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