期末提分练案-专题 证明圆的切线的七种常用方法 课件2024-2025学年北师大版数学九年级下册.pptxVIP

期末提分练案专题证明圆的切线的七种常用方法北师大版九年级下册

1.如图，⊙O的直径AB＝12，P是AB延长线上一点，且PB＝4，C是⊙O上一点，PC＝8.求证：PC是⊙O的切线.

返回【证明】连接OC.∵⊙O的直径AB＝12，∴OB＝OC＝6.∵PB＝4，∴PO＝10.在△POC中，PC2＋OC2＝82＋62＝100，PO2＝102＝100，∴PC2＋OC2＝PO2.∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC.又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．

2.如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C，且∠ACP＝60°，D是AB延长线上一点，PA＝PD.试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由.

返回【解】PD与⊙O相切．理由如下：如图，连接PO.∵∠ACP＝60°，∴∠AOP＝2∠ACP＝120°.∴∠POD＝180°－∠AOP＝60°.∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝30°.∵PA＝PD，∴∠OAP＝∠D＝30°.∴∠OPD＝180°－∠POD－∠D＝90°，即OP⊥PD.又∵OP是⊙O的半径，∴PD与⊙O相切．

3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD.

(1)求证：CF是⊙O的切线；【证明】如图，连接OC.∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°.∴∠ADC＋∠CAD＝90°.又∵OC＝OD，∴∠ADC＝∠OCD.又∵∠DCF＝∠CAD，∴∠DCF＋∠OCD＝90°＝∠OCF，即OC⊥FC.又∵OC是⊙O的半径，∴CF是⊙O的切线．

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4.[2024温州模拟]如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F.

(1)求证：AF⊥EF；【证明】如图，连接OD，∵EF为⊙O的切线，∴OD⊥EF.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD.∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠OAD.∴∠CAD＝∠ODA.∴OD∥AF.∵OD⊥EF，∴AF⊥EF.

返回(2)若AF＝3，AB＝4，求BE的长.

5.如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OA为半径的⊙O交AB于点D，交OC于点E，延长AO交☉O于点F，连接CD，CF，EF，ED.

(1)求证：EF＝ED；

返回(2)若CF是⊙O的切线，求证：CD是⊙O的切线.

6.[2024广东]如图，在△ABC中，∠C＝90°.(1)实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D；(保留作图痕迹，不要求写作法)【解】如图，AD即为所求．

返回(2)应用与证明：在(1)的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D.求证：AB与⊙D相切.【证明】如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∴DE＝CD，∴DE为⊙O的半径．∴AB与⊙D相切．

7.如图，在△ABC中，O为AC上一点，以O为圆心，OC长为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD.

(1)求证：AB为⊙O的切线；【证明】过点O作OE⊥AB于点E，则∠OEB＝90°.∵BC切⊙O于点C，∴∠OCB＝90°.∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°.∴∠OCB＝∠ADB.∵∠AOD＝∠BOC，∴∠CBD＝∠OAD.∵∠AOD＝∠BAD，∠D＝∠D，∴∠OAD＝∠ABD.∴∠ABD＝∠CBO.

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