《传热学》第四章导热问题数值解法.pptx

2025/2/17;求解导热问题的三种基本方法：(1)理论分析法；(2)数值计算法；(3)实验法

三种方法的基本求解过程

1)所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解，或叫理论解；

2)数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解；;3)实验法就是在传热学基本理论的指导下，采用实验对所研究对象的传热过程进行测量的方法。

3三种方法的特点

1)分析法

a能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据；

b局限性很大，对复杂的问题无法求解；

c分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见

;2)数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低。

3)实验法:是传热学的基本研究方法，a适应性不好；

b费用昂贵;本章主要内容;物

理

问

题

的

数

值

求

解

过

程;;;§4-2内节点离散方程的建立方法;差分格式：;以常物性，无内热源的二维稳态导热为例：;;二维导热问题；网格线；沿x、y方向的间距为?x、?y；网格单元。;1）第一类：Taylor（泰勒）级数展开法和多项式拟合法，它偏重于从数学的角度进行推导；其优点是便于对离散方程进行数学特性分析；缺点是变步长网格的离散方程形式复杂、导出过程的物理概念不清晰、不能保证差分方程具有守恒特性。;一、泰勒级数展开法;将以上两式代入导热微分方程得到节点（m,n）的温度离散方程：;稳态、无内热源时：

从所有方向流入控制体的总热流量＝0;时：;对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题，就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边界节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才能求解。

为了求解方便，这里我们将第二类边界??件及第三类边界条件合并起来考虑，用表示边界上的热流密度或热流密度表达式。用Φ表示内热源强度。

对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。;第二类边界条件：根据给定的qw，针对边界节点所在的网格单元，写出热平衡关系式，建立边界节点温度差分方程：;第三类边界条件：根据给定的tf和h，针对边界节点所在的网格单元，写出热平衡关系式，建立边界节点温度差分方程：;(2)外部角点;(3)内部角点;qw的情况：

(1)第二类边界条件：将，带入上面各式即可

绝热或对称边界条件？

第三类边界条件：将，带入上面各式

即可.;二、方程组的求解：;;在计算后面的节点温度时应按下式（采用必威体育精装版值）;判断迭代是否收敛的准则：;非稳态导热与稳态导热的主要区别：控制方程中多一个非稳态项；温度随空间和时间变化.;一、内部节点的显式差分格式;内节点i、k??时刻：;只要知道k??时刻各节点温度，就可以利用上式计算出(k+1)??时刻各节点的温度;由初始时刻(τ=0)的温度;当计算从一个时层向下一个时层推进时，任何一个时层的解取决于前一个时层的计算结果，而每次计算时，四舍五入总是难免的;能保证舍入误差不被放大的差分格式称为稳定的差分格式，否则为不稳定的差分格式。;一维非稳态内节点显式差分格式的稳定性条件;举例说明;将平板按步长分成10份，并取;;结果出现了和。从物理意义上分析，可知。

因此，上述计算结果是荒谬的，原因是;不满足稳定性条件，要改变这种情况，只有

也就是说，在时间与空间离散时，和

的选取是相互制约的。;有时为了提高计算精度，需要令。但在显格式中，令