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微专题7零点问题

[考情分析]在近几年的高考中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以指数函数、对数函数以及三角函数为载体考查函数的零点(方程的根)问题，考查形式多样，难度中等偏上，若以压轴题出现，则难度较大.

考点一利用导数判断函数零点个数

例1(2024·石家庄模拟)已知函数f(x)=12x2-(a+1)x+alnx(a0)

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)当a=2时，若函数g(x)=f(x)-x+ex-1，求函数g(x)的零点个数.

[规律方法]三步求解函数零点(方程根)的个数问题

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y=k)在该区间上的交点问题；

第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质；

第三步：结合图象求解.

跟踪演练1(2024·郑州模拟)已知函数f(x)=eax-x.

(1)若a=2，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)讨论f(x)的零点个数.

考点二由零点个数求参数范围

例2(2024·北京丰台模拟)已知函数f(x)=a2x+2ax-2lnx(a≠0).

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围.

[规律方法]已知零点求参数的取值范围

(1)结合图象与单调性，分析函数的极值点；

(2)依据零点确定极值的范围；

(3)对于参数选择恰当的分类标准进行讨论.

跟踪演练2已知函数f(x)=ex-1+e-x+1，g(x)=a(x2-2x)(a0).

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)有两个零点，求a的取值范围.

答案精析

例1解(1)f(x)=x-(a+1)+a

=x

=(x-1)(x-a)x

当0a1时，当x∈(0，a)∪(1，+∞)时，f(x)0，f(x)在(0，a)，(1，+∞)上单调递增；

当x∈(a，1)时，f(x)0，f(x)在(a，1)上单调递减.

当a1时，当x∈(0，1)∪(a，+∞)时，f(x)0，f(x)在(0，1)，(a，+∞)上单调递增；

当x∈(1，a)时，f(x)0，f(x)在(1，a)上单调递减.

当a=1时，f(x)≥0，

f(x)在(0，+∞)上单调递增.

(2)当a=2时，

f(x)=12x2-3x+2lnx，x0

所以f(x)=x-3+2x，x0

所以g(x)=ex-1-3+2x，x0

所以g(x)=ex-1-2x2，显然g(x)在区间(0，+∞

因为g(1)=-10，

g(2)=e-120

所以存在唯一x0∈(1，2)，

使得g(x0)=0，

当x∈(0，x0)时，g(x)0，

当x∈(x0，+∞)时，g(x)0，

所以g(x)在区间(0，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增，其中x0∈(1，2)，

又g(1)=0，g(x0)g(1)=0，

g(2)=e-20，

所以g(x)在(0，x0)上有唯一零点x=1，在(x0，2)上有唯一零点，

因此g(x)的零点个数为2.

跟踪演练1解(1)若a=2，

则f(x)=e2x-x，f(x)=2e2x-1.

又f(1)=e2-1，切点为(1，e2-1)，

曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的斜率k=f(1)=2e2-1，

故所求切线方程为y-(e2-1)=(2e2-1)(x-1)，

即y=(2e2-1)x-e2.

(2)由题意得f(x)=aeax-1.

当a≤0时，f(x)0，f(x)在R上单调递减，

又f(0)=10，f(1)=ea-1≤0，

此时f(x)有一个零点.

当a0时，

令f(x)0得x-lna

令f(x)0得x-lna

所以f(x)在-∞，-ln

故f(x)的最小值为f-lnaa

当a=1e时，f(x)的最小值为0，此时f(x)有一个零点

当a1e时，f(x)的最小值大于0

此时f(x)没有零点.

当0a1e时，f(x)的最小值小于0

f(-1)=e-a+10，

当x→+∞时，f(x)→+∞，

此时f(x)有两个零点.

综上，当a≤0或a=1e时，f(x)

当0a1e时，f(x)

当a1e时，f(x)没有零点

例2解(1)当a=1时，

f(x)=x+2x-2lnx，x0，

则f(x)=1+1x-2

所以f(1)=0，f(1)=3，

故曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=3.

(2)f(x)=a2+ax-

=a

=(ax+2)(ax-1)x(a

当a0时，则ax+20，

令f(x)0，则x1a

令f(x)0，则0x1a

故f(x)在1a2，+∞上单调递增，在0

f(x)取极小值也是最小值，

则f(x)min=f1a2=a2·

2a1a2-