专题一　微专题5　导数与不等式证明.docx

专题一微专题5导数与不等式证明

(分值：50分)

1.(16分)(2024·大连模拟)已知函数f(x)=xlnx+ax+1(a∈R).

(1)若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(7分)

(2)当x1时，证明：exlnxe(x-1).(9分)

2.(17分)(2024·黔西模拟)已知函数f(x)=92x2-xlnx-2x

(1)判断f(x)的单调性；(8分)

(2)证明：913+35+57+…+2n

3.(17分)(2024·泰安模拟)在数学中，由m×n个数aij(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)排列成的m行n列的数表a11a12…a1n…………ai1ai2…ain…………am1am2…amn称为m×n矩阵，其中aij称为矩阵A的第i行第j列的元素.矩阵乘法是指对于两个矩阵A和B，如果A的列数等于B的行数，则可以把A和B相乘，具体来说：若A=a11a12…a1n…………ai1ai2…ain…………am1am2…amn，B=b11…

(1)讨论f(x)的单调性；(8分)

(2)若x1，x2(x1x2)是f(x)的两个极值点，证明：?x0∈(x1，x2)，f(x0)+f(x2)+6x1+x1ln160.(9分)

答案精析

1.(1)解由已知得，-a≤lnx+1x在(0，+∞)

设g(x)=lnx+1x

g(x)=1x-1x2

令g(x)0，解得x1，

令g(x)0，解得0x1，

∴g(x)在(0，1)上单调递减，

在(1，+∞)上单调递增，

∴g(x)≥g(1)=1，即-a≤1，

∴a≥-1.

即实数a的取值范围为[-1，+∞).

(2)证明方法一由(1)知，当a≥-1时，f(x)≥0恒成立，取a=-1，

得lnx≥x-1x成立，当且仅当x=1

∴当x1时，exlnxex

设h(x)=ex-ex，x1，

h(x)=ex-e，

故当x1时，h(x)0，

∴h(x)=ex-ex在(1，+∞)上单调递增，

∴h(x)h(1)=0，∴exex.

∴当x1时，exx

即ex(x-1)xe

由此可证，当x1时，

exlnxex(x-1)xe

方法二当x1时，

要证exlnxe(x-1)成立，

即证lnxx-1ex

设G(x)=lnx-x-1ex-1

G(x)=1x-

=ex

设m(x)=ex-1+x2-2x，x1，

m(x)=ex-1+2x-2

=ex-1+2(x-1)，

当x1时，m(x)0，

∴m(x)在(1，+∞)上单调递增.

∴m(x)m(1)=0，∴G(x)0，

∴G(x)在(1，+∞)上单调递增，

G(x)G(1)=0，

由此可证，当x1时，

exlnxe(x-1)成立.

2.(1)解易知函数f(x)=92x2-xlnx-2x的定义域为(0，+∞)

可得f(x)=9x-(lnx+1)-2=9x-lnx-3，

令g(x)=9x-lnx-3，

则g(x)=9-1x=9

当x∈0，19时，g(x

此时g(x)在0，

当x∈19，+∞时，g(x)0，此时g(x

所以f(x)=g(x)≥g19=1+ln9-3=ln9-2=ln9e

即f(x)0在(0，+∞)上恒成立，

因此f(x)在(0，+∞)上单调递增.

(2)证明由(1)可知f(x)=9x-lnx-30，即9xlnx+3，

可得9×2n-12n

所以nΣi

即可得91

ln13+ln35+…+ln2

=ln1-ln3+ln3-ln5+…+ln(2n-1)-ln(2n+1)+3n

=3n-ln(2n+1)，

即913+35+57+…+2n-12

3.(1)解由矩阵乘法定义知f(x)=lnx+ax2-2ax，x∈(0，+∞)，

∵f(x)=1x+2ax-2a=2

∴当a=0时，f(x)=1x0

f(x)在(0，+∞)上单调递增，

当a≠0时，方程2ax2-2ax+1=0的判别式Δ=4a(a-2)，

当0a≤2时，Δ≤0，f(x)≥0，

f(x)在(0，+∞)上单调递增，

当a0或a2时，Δ0，

令f(x)=0，方程两根记为α，β，

则α=a-a2-2a

当a0时，α0，β0，

当x∈(0，α)时，f(x)0，

f(x)在(0，α)上单调递增，

当x∈(α，+∞)时，f(x)0，

f(x)在(α，+∞)上单调递减，

当a2时，βα0，

当x∈(0，α)∪(β，+∞)时，

f(x)0，f(x)在(0，α)，(β，+∞)上单调递增，

当x∈(α，