专题一　微专题4　函数的极值、最值.docx

微专题4函数的极值、最值

[考情分析]利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多以选择题、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等；或者压轴解答题，属综合性问题，难度较大.

考点一利用导数研究函数的极值

判断函数的极值点，主要有两点

(1)导函数f(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点.

(2)利用函数f(x)的单调性可得函数的极值点.

例1(2024·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)=ex-ax-a3.

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.

[易错提醒](1)不能忽略函数的定义域.

(2)f(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件，即f(x)的变号零点才是f(x)的极值点，所以判断f(x)的极值点时，除了找f(x)=0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性.

(3)函数的极小值不一定比极大值小.

跟踪演练1(1)(多选)(2024·武汉统考)已知函数f(x)及其导函数f(x)的部分图象如图所示，设函数g(x)=f(x)ex，则g

A.在区间(a，b)上单调递减

B.在区间(a，b)上单调递增

C.在x=a时取极小值

D.在x=b时取极小值

(2)(2024·秦皇岛模拟)已知0是函数f(x)=x3+ax2+1的极大值点，则a的取值范围为()

A.(-∞，0) B.(0，+∞)

C.-∞，-

考点二利用导数研究函数的最值

1.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤

(1)求函数在(a，b)内的极值.

(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).

(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

2.若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值.

例2(2024·宝鸡模拟)已知函数f(x)=ax+x2-xlna-b(a，b∈R，a1)，e是自然对数的底数.

(1)当a=e，b=4时，求整数k的值，使得函数f(x)在区间(k，k+1)上存在零点；

(2)若x∈[-1，1]，且b=0，求f(x)的最小值和最大值.

[易错提醒](1)求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论.

(2)求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性和极值情况，画出函数图象，借助图象得到函数的最值.

跟踪演练2(1)(2024·安徽省皖江名校联盟模拟)已知函数f(x)=(x-1)sinx+(x+1)·cosx，当x∈[0，π]时，f(x)的最大值与最小值的和为.?

(2)(2024·浙江省金丽衢十二校联考)已知函数f(x)=-1x,x0,ex-2,x≥0,若x1x2，且f(x1)=f(x2

考点三已知函数极值、最值求参数

例3(1)(2024·南充模拟)已知函数f(x)=xex+m-12x2-mx在区间[-1-m，1-m]上有且仅有两个极值点，则实数m的取值范围为(

A.1，2-1e B.(

C.1，2-1e D.(

(2)若函数f(x)=13x3+x2-2在区间(a-4，a)上存在最小值，则a的取值范围是.

[易错提醒]方程、不等式恒成立，有解问题都可用分离参数法.分离参数时，等式或不等式两边符号变化以及除数不能等于0，易忽视.

跟踪演练3(1)(2024·赤峰模拟)已知函数f(x)=xlnx-ax有极值-e，则a等于()

A.1 B.2

C.e D.3

(2)(2024·石嘴山模拟)已知函数f(x)=ax2-2x+lnx有两个不同的极值点x1，x2，若不等式f(x1)+f(x2)≤t恒成立，则实数t的最小值为.?

答案精析

例1解(1)当a=1时，

则f(x)=ex-x-1，

f(x)=ex-1，

可得f(1)=e-2，f(1)=e-1，

即切点坐标为(1，e-2)，

切线斜率k=e-1，

所以切线方程为y-(e-2)

=(e-1)(x-1)，

即(e-1)x-y-1=0.

(2)方法一因为f(x)的定义域为R，且f(x)=ex-a，

若a≤0，则f(x)0对任意x∈R恒成立，可知f(x)在R上单调递增，

无极值，不符合题意；

若a0，令f(x)0，解得xlna，

令f(x)0，解得xlna，

可知f(x)在(-∞，lna)上单调递减，在(lna，+∞)上单调递增，

则f(x)有极小值f(lna)=a-alna-a3，无极大值，

由题意可得，f(lna)=a-alna-a30，即a2+lna-10，

令g(a)=a2+ln