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专题一微专题4函数的极值、最值

(分值：100分)

一、单项选择题(每小题5分，共30分)

1.(2024·辽宁省部分重点中学协作体模拟)下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是()

A.f(x)=xsinx

B.f(x)=x+1

C.f(x)=ex+1

D.f(x)=|x+1|-|x-1|

2.(2024·西安模拟)函数f(x)=xx2+1在[-3，3]上的最大值和最小值分别是

A.613，-613 B.

C.310，-310 D.

3.(2024·银川模拟)若函数f(x)=(x2-ax-2)ex在x=-2处取得极大值，则f(x)的极小值为()

A.-6e2 B.-4e

C.-2e2 D.-e

4.已知函数f(x)=lnx+ax存在最大值0，则a的值为()

A.-2 B.-1e

C.1 D.e

5.(2024·楚雄模拟)若ab，则函数y=a(x-a)(x-b)2的图象可能是()

6.(2024·咸阳模拟)已知函数f(x)=cosx+a2x2，若x=0是函数f(x)的唯一极小值点，则a的取值范围为(

A.[1，+∞) B.(-1，1)

C.[-1，+∞) D.(-∞，1]

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

7.(2024·杭州模拟)已知函数f(x)=(x+1)ex，则下列结论正确的是()

A.f(x)在区间(-2，+∞)上单调递增

B.f(x)的最小值为-1

C.方程f(x)=2的解有2个

D.导函数f(x)的极值点为-3

8.(2024·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)=2x3-3ax2+1，则()

A.当a1时，f(x)有三个零点

B.当a0时，x=0是f(x)的极大值点

C.存在a，b，使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴

D.存在a，使得点(1，f(1))为曲线y=f(x)的对称中心

三、填空题(每小题5分，共10分)

9.(2024·宜宾模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=-1处有极值8，则f(1)=.?

10.如图所示为某“胶囊”形组合体，由中间是底面半径为1，高为2的圆柱，两端是半径为1的半球组成，现欲加工成一个圆柱，使得圆柱的两个底面的圆周落在半球的球面上，则当圆柱的体积最大时，圆柱的底面半径为.?

四、解答题(共31分)

11.(14分)(2024·深圳模拟)已知函数f(x)=2x2-ax+

(1)若a=1，求f(x)在[-1，1]上的最小值；(5分)

(2)求证：f(x)的极大值恒为正数.(9分)

12.(17分)(2024·泸州模拟)已知函数f(x)=2x3-ax2+2(a0).

(1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(6分)

(2)若在区间[-1，1]内存在x1，x2，使得f(x1)f(x2)≥9，求实数a的取值范围.(11分)

13.(17分)[旋转函数]在平面直角坐标系中，如果将函数y=f(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转α0α≤π2后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称f(x)为“

(1)判断函数y=3x是否为“π6旋转函数”，并说明理由；(5分

(2)已知函数f(x)=ln(2x+1)(x0)是“α旋转函数”，求tanα的最大值；(5分)

(3)若函数g(x)=m(x-1)ex-xlnx-x22是“π4旋转函数”，求m的取值范围

答案精析

1.B2.D3.C4.B5.B6.A

7.ABD8.AD9.-410.2

11.(1)解当a=1时，

f(x)=2x2-x+1ex，x

f(x)=-2x

令f(x)=0，得x=12

又f12=1e=

且f(-1)=4e，f(1)=2e

∴f(x)min=f12=ee

(2)证明因为f(x)=-2x2+(

令f(x)=0，

解得x1=2，x2=a2

若a4，当x2或xa2

f(x)0，当2xa2时，f(x)0

所以f(x)在(-∞，2)，a2

在2，

故极大值为fa2=ae

若a=4，则f(x)≤0，

所以函数f(x)在R上单调递减，无极大值；

若a4，当xa2或x2时，f(x)0，当a2x2时，f(x)

所以f(x)在-∞，a2，(2，

在a2

故极大值为f(2)=8-a

综上，f(x)的极大值恒为正数.

12.解(1)因为f(x)=2x3-ax2+2(a0)，

所以f(0)=2，

又f(x)=6x2-2ax，

所以f(0)=0，

所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=2.

(2)因为f(x)=6x2-2ax

=6xx-a3，又

所以当0xa3时，f(x)0

当x0或xa3时，f(x)0

所以f(x)在0，a3上单调递减，在(-∞，0)，

则在区间[-1，1]内存在x1，x2，使得f(x1)f(x2)≥9，