概率论与数理统计方差.ppt

4.2方差前面曾提到在检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长度，还要注意纤维长度与平均长度的偏离程度．那么，怎样去度量这个偏离程度呢？用E[X–E(X)]来描述是不行的，因为这时正负偏差会抵消；用E[|X–E(X)|]来描述原则上是可以的，但有绝对值不便计算；通常用E{[X–E(X)]2}来描述随机变量与均值的偏离程度．

定义4.3设X是随机变量，若E{[X–E(X)]2}存在，则称其为X的方差，记为D(X)(或Var(X))，即称为X的标准差．特别地，如果X是离散型随机变量，分布律为则如果X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，则4.2.1方差的概念与计算

4.2.1方差的概念与计算将方差定义式右端展开，并利用数学期望性质可得01即02今后我们会经常利用这个式子来计算随机变量X的方差D(X).03

4.2.1方差的概念与计例4.13】求例4-2中随机变量X的方差D(X).1161解：由于所以

4.2.1方差的概念与计算01【例4.14】设随机变量X服从参数为λ（λ0）的泊松分布，求D(X)．03，k=0，1，2，…，02解：由于X的分布律为04在例4-4中已经求出，下面计算E(X2)：故05

【例4.15】设随机变量X服从参数为?（?0）的指数分布，求D(X)．解：由于指数分布的概率密度为在例4-7中已求出，故有

4.2.1方差的概念与计算【例4.16】设随机变量X服从(a，b)上的均匀分布，求D(X)．01解：由于均匀分布的概率密度为02所以03

【例4.17】设(X，Y)的概率密度为求D(X)及D(Y)．解：记D：|y|x，0x1，如图，则,

4.2.1方差的概念与计算【例4.18】已知随机变量X的概率密度为又E(X)=0.5，D(X)=0.15，求a，b，c．解：由于从上面三个方程中可以解得a=12,b=–12,c=34.2.2方差的性质4.2.2方差的性质(1)设c是常数，则D(c)=0；(2)设c是常数，X是随机变量，则D(cX)=c2D(X)，D(X+c)=D(X)；(3)设X，Y是两个随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}；特别，当X，Y是相互独立的随机变量时，有D(X+Y)=D(X)+D(Y)；(4)D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数c，即P{X=c}=1．

4.2.2方差的性质设c是常数，则D(c)=0；证明：设c是常数，X是随机变量，则D(cX)=c2D(X)，D(X+c)=D(X)；证明：

4.2.2方差的性质(3)设X，Y是两个随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}；特别，当X，Y是相互独立的随机变量时，有D(X+Y)=D(X)+D(Y)；证明：当X，Y是相互独立的随机变量时，

4.2.2方差的性质010203性质(4)证明从略.由性质(2)和(3)容易推广得到，若X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量，为常数，则前面例4-3中已经用定义求出了二项分布的数学期望，现在再用数学期望和方差的性质来求它的期望和方差。

4.2.2方差的性质23145又则解：X可视为n重伯努利试验中某个事件A发生的次数，p为每次试验中A发生的概率．引入随机变量Xi（i=1，2，…，n）：【例4.19】设随机变量X服从二项分布B(n，p)，求E(X)和D(X)．

4.2.2方差的性质因为X1，X2，…，Xn相互独立，且01由数学期望和方差的性质可得02

4.2.2方差的性质【例4.20】一机场班车载有20名乘客自机场开出，途中有10个车站可以下车，如果到达一个车站没人下车则不停车，用X表示班车的停车次数，求X的数学期望E(X)及标准差．（设每位乘客在各个车站下车是等可能的，且各位乘客是否下车相互独立）解：依题意，每位乘客在第i个车站下车的概率均为1/10，不下车的概率均为9/10,则班车在第i个车站不停车的概率为所以

从而，

4.2.2方差的性质【例4.21】设随机变量X服从正态分布01求D(X)．02解：设，由于