2025年高考数学二轮复习课件 微切口1　多面体的外接球与内切球.docxVIP

赢在中档题之高考微切口

微切口1多面体的外接球与内切球

外接球补形法

例1(1)若正四面体的表面积为8eq\r(3)，则其外接球的体积为(A)

A．4eq\r(3)π B．12π

C．8eq\r(6)π D．32eq\r(3)π

【解析】设正四面体的棱长为a.由题意可知4×eq\f(\r(3),4)a2＝8eq\r(3)，解得a＝2eq\r(2)，所以正四面体的棱长为2eq\r(2).如图，将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，正方体的体对角线长为2eq\r(3).因为正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，所以外接球半径R＝eq\r(3)，则外接球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.

(例1(1))

(2)若四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝eq\r(3)，AC＝2，AD＝3，则球O的表面积为(B)

A．64π B．16π

C．4π D．π

【解析】四面体ABCD的外接球O即为以AC，AB，AD为长、宽、高的长方体的外接球，所以球O的外接球半径R＝eq\f(1,2)eq\r(AB2＋AC2＋AD2)＝2，则球O的表面积S＝4πR2＝16π.

(3)(2024·汕头二模)已知三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且PA＝8，AC＝6，则球O的表面积为(D)

A．10π B．25π

C．50π D．100π

【解析】把三棱锥P－ABC补成一个长方体如图所示，则长方体的外接球即是三棱锥P－ABC的外接球．因为PA＝8，AC＝6，可得长方体的外接球的半径R＝eq\f(1,2)×eq\r(82＋62)＝5，所以球O的表面积S＝4π×52＝100π.

(例1(3))

(4)在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝2eq\r(5)，PB＝AC＝eq\r(13)，AB＝PC＝5，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积是__29π__.

【解析】将三棱锥P－ABC放到长方体中，可得长方体的三条面对角线长分别为2eq\r(5)，eq\r(13)，5.设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则有eq\r(a2＋b2)＝2eq\r(5)，eq\r(c2＋b2)＝eq\r(13)，eq\r(a2＋c2)＝5，解得a＝4，b＝2，c＝3.长方体的体对角线即为三棱锥的外接球的直径，设外接球的半径为R，则(2R)2＝a2＋b2＋c2＝29，故S球＝4πR2＝29π.

(1)正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．

(2)长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．

(3)补成长方体：

①若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图(1)；

②若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图(2)；

③正四面体P－ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a＝eq\f(PA,\r(2))，如图(3)；

④若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图(4).

图(1)

图(2)

图(3)

图(4)

外接球单面定球心法

例2(1)(侧棱相等的棱锥)已知在四面体V－ABC中，VA＝VB＝VC＝eq\r(3)，AB＝eq\r(2)，∠ACB＝eq\f(π,4)，则该四面体外接球的表面积为__eq\f(9π,2)__.

【解析】如图，因为VA＝VB＝VC＝eq\r(3)，所以V在平面ABC上的射影为△ABC的外心O′.又AB＝eq\r(2)，∠ACB＝eq\f(π,4)，所以由正弦定理得△ABC的外接圆的半径r＝eq\f(\r(2),2sin\f(π,4))＝1，故VO′＝eq\r(2).设四面体外接球的半径为R，则(eq\r(2)－R)2＝R2－1，解得R＝eq\f(3\r(2),4)，所以外接球的表面积为4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9π,2).

(例2(1))

(2)(2024·邵阳二联)已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝60°，PA＝AC＝2，则此三棱锥外接球的表面积为(B)

A．eq\f(14π,3) B．eq\f(28π,3)

C．10π D．5π

【解析】设底面三角形ABC的外接圆半径为r，三棱锥P－ABC的外接球半径为R.由正弦定理得2r＝eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(2,sin60°)＝eq\f(4