2025年高考数学二轮复习课件 微切口2　空间几何体中的截面问题.docxVIP

微切口2空间几何体中的截面问题

截面问题的理论依据

(1)确定平面的条件：①不在同一直线上的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面．

(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线．

(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．

(4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和交线平行．

(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行．

延展作多面体截面

例1(2024·随州5月模拟节选)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则过点D1，E，F的平面截正方体ABCD－A1B1C1D1所得的截面多边形的周长为__2eq\r(13)＋eq\r(2)__.

【解析】方法一：如图(1)，延长DA，DC，与直线EF分别交于点M，Q，连接D1M，D1Q与A1A，C1C分别交于点P，H，连接PE，HF，则五边形D1PEFH所在平面即为截面．因为正方体的棱长为2，点E，F分别是AB，BC的中点，所以EF＝eq\f(1,2)×eq\r(22＋22)＝eq\r(2).由Rt△BEF≌Rt△CQF≌Rt△AEM，得AM＝CQ＝BE＝BF＝1，EF＝ME＝FQ＝eq\r(2)，所以P，H分别为靠近A，C的三等分点，故A1P＝C1H＝eq\f(4,3)，所以由勾股定理得D1P＝D1H＝eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))\s\up12(2))＝eq\f(2\r(13),3)，PE＝FH＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(13),3)，所以截面多边形的周长为D1P＋PE＋EF＋FH＋D1H＝eq\f(2\r(13),3)×2＋eq\f(\r(13),3)×2＋eq\r(2)＝2eq\r(13)＋eq\r(2).

图(1)

(例1)

方法二：因为平面AA1D1D∥平面BB1C1C，则过点D1，E，F的平面必与AA1，CC1相交，设过点D1，E，F的平面与AA1，CC1分别交于点M，N.因为过点D1，E，F的平面与平面AA1D1D和平面BB1C1C分别交于D1M与NF，所以D1M∥NF，同理可得D1N∥ME，如图(2)，过点D1，E，F的平面截正方体ABCD－A1B1C1D1所得的截面图形为五边形D1MEFN.以D为坐标原点，分别以eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系Dxyz，设AM＝m，CN＝n，则M(2，0，m)，N(0，2，n)，E(2，1，0)，F(1，2，0)，D1(0，0，2)，所以eq\o(ME,\s\up6(→))＝(0，1，－m)，eq\o(D1N,\s\up6(→))＝(0，2，n－2)，eq\o(D1M,\s\up6(→))＝(2，0，m－2)，eq\o(NF,\s\up6(→))＝(1，0，－n).因为D1N∥ME，D1M∥NF，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2m＝n－2，,－2n＝m－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(2,3)，,n＝\f(2,3)，))所以AM＝eq\f(2,3)，CN＝eq\f(2,3)，所以A1M＝eq\f(4,3)，C1N＝eq\f(4,3)，所以在Rt△D1A1M中，D1A1＝2，A1M＝eq\f(4,3)，所以D1M＝eq\f(2\r(13),3).同理D1N＝eq\f(2\r(13),3).在Rt△MAE中，AM＝eq\f(2,3)，AE＝1，所以ME＝eq\f(\r(13),3).同理NF＝eq\f(\r(13),3).在Rt△EBF中，BE＝BF＝1，所以EF＝eq\r(2)，所以D1M＋D1N＋ME＋NF＋EF＝2×eq\f(2\r(13),3)＋2×eq\f(\r(13),3)＋eq\r(2)＝2eq\r(13)＋eq\r(2)，即过点D1，E，F的平面截正方体ABCD－A1B1C1D1所得的截面多边形的周长为2eq\r(13)＋eq\r(2).

图(2)

作多面体截面的方法：

(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程；

(2)若面上只有一个已知点