现代控制理论基础课件：控制系统的稳定性.pptx

控制系统的稳定性;

5.1Lyapunov稳定性的基本概念

5.2Lyapunov第一法

5.3Lyapunov第二法

5.4Lyapunov方法在线性系统中的应用

5.5循序渐近例子：单链机械臂;;

稳定性是系统性能研究的首要问题

控制系统的重要性质！

正常工作的首要条件！

控制系统原处于平衡状态。受到扰动，产生偏差。扰动消失以后，偏差渐小，能恢复到原来平衡状态，则稳定。偏差渐大，不能恢复到原来平衡状态，则不稳定。

系统在初始偏差作用下，

过渡过程的收敛性！;;

现代控制理论对稳定性描述的特点

稳定判据可用于线性/非线性，定常/时变系统；

研究系统外部稳定性和内部稳定性；

能够反映系统稳定的本质特征。;

5.1Lyapunov稳定性的基本概念;;

平衡状态的稳定性：

系统在平衡状态邻域的局部的(小范围的)动态行为。

线性系统：只有一个平衡状态(A士0时),平衡状态稳定性能够表征整个系统的稳定性。

非线性系统：可能有多个平衡状态，且稳定性不同;;

Lyapunov意义下稳定

渐近稳定

不稳定;

若能使系统方程的解在t的过程中，始终位于以xe为球心，任意规定的半径为c的闭球域S(c)

内，即;

设系统初始状态位于平衡状态xe为球心，为半径6的闭球域S(6)内，即;;

几何意义：

当tw时，从状态空间任意一点出发的轨迹都收敛于xe。

初始状态在整个状态空间时，系统状态都渐近稳定。;

xe渐近稳定A的所有特征值Re(入k)0;

解：Lyapunov第一法(间接法)

入I-A=3=(入+1)(入+2)=0

入1=-1,入2=-2平衡状态渐近稳定！;;

系统运动需要能量。在非零初始状态作用下的运动过程中，若能量随时衰减以至最终消失，则系统迟早会达到平衡状态，随即

渐近稳定！;;

V(x)=x2

V.(x)=?

其他V(x)？;

x士0,V(x)0

x=0,V(x)=0x士0,V(x)0x=0,V(x)=0x士0,V(x)0x=0,V(x)=0x士0,V(x)0x=0,V(x)=0;

解：x=0,V(x)=0：x0,V(x)0

x1=0,x20,x3=0,V(x)=0x=0,V(x)=0

其余V(x)0V(x)正半??;

例2:V(x)=kx12+mx22=[x1x2];

p110,;

p110,p11p120,…,(一1)n：：0;

二次型V(x)=xTPx正半定矩阵P正半定

P的各阶顺序主子式0

二次型V(x)=xTPx负半定矩阵P负半定

P的各阶顺序主子式负正相间，或等于零;

例3：确定下列二次型的定号性

V(x)=10x12+2x22+x32+2x1x2-4x1x3-2x2x3;

]|(入1)(入2)(入1)0

：入1=1,入2=2,入3=-1;;

例5：分析下列系统平衡状态的稳定性x.1=x2一x1(x12+x22)

x.2=一x1一x2(x12+x22);

例5：分析下列系统平衡状态的稳定性x.1=x2一x1(x12+x22)

x.2=一x1一x2(x12+x22)

解：x.=f(x,t)=0x1e=0,x2e=0xe=0

选取V(x)=x12+x220正定;;;;;

?上述定理是系统平衡状态稳定的充分条件。

?如果不满足定理，系统零平衡状态不一定不稳定！

?应该重新选取Lyapunov函数进行分析。

?Lyapunov函数不唯一！

?目前尚无构造Lyapunov函数的一般方法！;

线性定常连续系统x.=Axx(0)=x0,t0

A0时，原点是唯一的平衡状态。

选取正定二次型函数为Lyapunov