线性代数（第5版)课件：矩阵相似对角化.ppt

例1三个特征值的代数重数、几何维数均为1.——X1=(1,-1,0)T——X2=(1,-1,1)T——X3=(0,1,-1)T例2代数重数、几何维数均为1.代数重数、几何维数均为2.——X1=(1,1,2)T——X2=(1,1,0)T,X3=(-1,0,1)T例3代数重数、几何维数均为1.代数重数2，几何维数1.——X1=(0,0,1)T——X2=(1,2,-1)T6.A的互不相同的特征值对应的特征向量证:s＝1,因为特征向量不为零,故结论成立假设s=m－1时结论成立,即线性无关.s=m:令用A左乘(1),由得：得：线性无关代入(1)得而线性无关线性无关.（P143数学归纳法证明)∴k1=k2=…=km-1=0∴km=0推论：一个特征向量不可能属于不同的特征值.(即同一个矩阵不同的特征值所对应的特征向量不同)注：由矩阵A各特征值对应的线性无关特征向量构成的向量组线性无关。(P159定理4-11)证明:自己思考,或查阅其他教材如:清华大学出版社《线性代数》（居余马编著）只要证：A的k重特征值所对应的线性无关特征向量至多有k，即7.特征值的几何维数≤代数重数1)An×n有n个不同特征值A有n个线性无关的特征向量.各对应一个线性无关的特征向量2)An×n有特征值,分别为k1,k2,…,ks重且分别对应m1,m2,…,ms个线性无关特征向量,则mi≤ki故A共有m1+…+ms≤k1+…+ks=n个线性无关特征向量.例6例7(04考研)设n阶矩阵求A的特征值和特征向量.作业:

P145习题4.2

1(1)(3)，2,3，4，6线性代数是一种语言，必须用学习外语的方法每天学习这种语言．David.C.Lay设解:(1)(过程略)(1)求A的特征值和特征向量；(2)求可逆阵U，使U-1AU为对角阵.备用题(2)问题:记矩阵U是否唯一？矩阵是否唯一？由什么确定？三个变数的二次型特征值的实性是由阿歇特(J-N.P.Hachette)、蒙日（GaspardMonge，1746～1818，法国）和泊松(S.D.Poisson，1781-1840，法国)建立的。二次型化简的进一步研究涉及特征方程的概念。蒙日???????????????????泊松??线性代数复习相似矩阵矩阵可对角化条件矩阵对角化的应用机动目录上页下页返回结束定义假设A是n阶方阵，如果存在数?和非零向量X，使得AX=?X称?是矩阵A的一个特征值，X是对应于?的一个特征向量。复习机动目录上页下页返回结束AX=?X非零向量特征向量对应特征值n阶方阵对应于特征值?的特征向量不唯一。注：求法AX=?X(?E–A)X=0|?E–A|=0特征方程|?E–A|=?–a11–a12…–a1n–a21?–a22…–a2n…………–an1–an2…?–ann特征多项式?E–A特征矩阵特征值特征向量机动目录上页下页返回结束特征值和特征向量的性质：An×nA－1A*aA+bEAm特征值矩阵A可逆矩阵的互不相同的特征值对应的特征向量线性无关性质一、相似矩阵引例则P－1AP=B1.定义设An×n,Bn×n,若存在可逆阵P,使P-1AP＝B则称A相似于B，记A~B.设2.性质（1）矩阵的相似关系是一种等价关系反身性(A~A)(因为E－1AE＝A)(由P－1AP＝B得:(由P－1AP＝B,Q－1BQ＝C得:Q－1(P－1AP)Q＝(PQ)－1APQ＝C)对称性(A~BB~A)