中考数习复习高频考点培优（圆的切线相关计算与证明综合问题） .docx

2023年中考数学复习高频考点培优

（圆的切线相关计算与证明综合问题）

题型一：证明圆的切线

1、如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是BC的中点，连接OD并延长交⊙O于点E，作∠EBP＝∠EBC，BP交OE的延长线于点P.

(1)求证：PB是⊙O的切线；

(2)若AC＝2，PD＝6，求⊙O的半径．

2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O与BC，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC，连接OA.

(1)求证：AB是⊙O的切线；

(2)若BE＝AC＝3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积。

3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点M，N，过点N作NE⊥AB，垂足为E.

(1)若⊙O的半径为eq\f(13,2)，AC＝10，求BN的长；

(2)求证：NE与⊙O相切．

题型二：利用圆的切线证明线段、角度相等

1、如图，AC为⊙O的直径，AP为⊙O的切线，M是AP上一点，过点M的直线与⊙O交于B，D两点，与AC交于点E，连接AB，AD，AB＝BE.

(1)求证：AB＝BM；

(2)若AB＝3，AD＝eq\f(24,5)，求⊙O的半径．

2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED.

(1)求证：BD＝ED；

(2)若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值．

3、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B.

(1)求证：∠PBA＝∠OBC；

(2)若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE.

题型三：利用圆的切线证明三角形相似、全等

1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接

BD，CD，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P.

(1)求证：DP∥BC；

(2)求证：△ABD∽△DCP；

(3)当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．

2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B.

(1)求证：∠PBA＝∠OBC；

(2)若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE.

3、如图，在△ABC中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点．

（1）求证：；

（2）判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由．

4、如图，在△ABC中，是边上的中线，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点，过点作于点．

（1）求证：；

（2）求证：直线是的切线．

题型四：切线相关的其他问题

1、如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E.

(1)证明：DE为⊙O的切线；

(2)连接OE，若BC＝4，求△OEC的面积．

2、如图，已知△ABE，AB＝BE，以AB为直径作⊙O，交AE于点D，过D点作⊙O的切线交边BE于点C，交BA的延长线于点P.

(1)求证：PC⊥BE；

(2)如果PD＝2eq\r(3)，∠ABC＝60°，求BC的长．

3、如图，为线段上一点，以为圆心长为半径的⊙O交于点，点在⊙O上，连接，满足．

（1）求证：是⊙O的切线；

（2）若，求的值．

4、如图1，是圆O的直径，点E是圆O上一动点，且不与A，B两点重合，的平分线交圆O于点C，过点C作，交的延长线于点D．

（1）求证：是圆O的切线；

（2）求证：；

（3）如图2，原有条件不变，连接，延长至点M，的平分线交的延长线于点P，的平分线交的平分线于点Q．求证：无论点E如何运动，总有．