高二【数学(人教A版)】探究与发现双曲线的渐近线二次函数与抛物线.docx

课程基本信息

课例编号

2020QJ11SXRA046

学科

数学

年级

高二

学期

下

课题

探究与发现：双曲线的渐近线、二次函数与抛物线

教科书

书名：《数学》选择性必修第二册

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月

教学人员

姓名

单位

授课教师

陈东峰

北京汇文中学

指导教师

雷晓莉

北京东城区教育研修学院

教学目标

教学目标：

（1）了解双曲线渐近线的推导过程，会用距离刻画渐近程度。

（2）会把二次函数表达式转化为抛物线的标准方程，并从图像角度深入理解。

（3）体会数学形结合的数学思想方法。

教学重点：双曲线渐近线的推导过程，抛物线的图像平移方式。

教学难点：对渐近程度的刻画。

教学过程

时间

复习旧知引入课题

观察性质优化方案

逐步调整建立模型

类比转化形成结论

小结归纳布置作业

问题1我们利用信息技术直观给出了是双曲线的渐近线，如何证明呢？

追问1如何理解渐近线？我们学过的哪些图像中存在渐近现象呢？

反比例函数、指数函数、对数函数甚至正切函数的图像均存在渐近现象。反比例函数在每一象限内是递减的，当x正无穷大时，y恒正逐渐接近0；对于指数函数y=2x，当x接近负无穷时，

它们的共性是，几何角度，曲线图像与渐近线逐渐接近，永不相交；代数角度，当x趋近于某个数，一般为无穷时，y接近某个定值，但y取不到这个值。

追问2如何研究双曲线的渐近线呢？

在第一象限内，x、y均为正，所以方程可变形为，这样就可以直观的看出x与y变化趋势的相关性了。

追问3如何衡量一条直线与一条曲线的接近程度呢？

要通过距离来衡量。在直线方程的学习过程中，涉及到了几种重要的距离公式.

以指数函数为例，只需要取图像上任意一点，研究该点到渐近线的距离就可以了。由于特殊性，可用点的纵坐标的大小来衡量接近的程度.

方案1：

在双曲线第一象限的图像上取点M，作MQ垂直于y=bax

设M横坐标为x0,从减少变量的角度来考虑，代入双曲线方程得M的纵坐标是而后利用点到直线的距离公式可得：.

需要研究函数的单调性.变形为：

分子的部分是定值，分母是递增的，因此原函数是单调递减的。

当x无穷大时，分母无限大，y值就无限小且趋于0.由于分子不为0，所以y取不到0.

当x0无限变大时，对应M向右无限运动时，MQ无限变小趋于0，也就说明双曲线与直线越靠右越接近，但不能相交

方案2：利用纵向距离也可以值得研究。作MN平行于渐近线交于N，由于MN与MQ成定倍数关系，因此可以替代MQ进行研究。

M、N的横坐标相同，这样以来MN的长度等于二者纵坐标的差，比较容易计算。这个结构与MQ表达式的结构是一致的，后面的研究就基本一样了。

追问4除距离外，还有无其它刻画“渐近”的量？

方案3：如图，当直线OM的斜率在发生变化。当直线绕（0,0)逆时针旋转时，斜率逐渐是变大的。因此，只要求出OM斜率与ba比较就可以了。

结合前面的运算结果，我们不难求出，化简后为，用极限的思想来分析，当x趋向于无穷大时，根式下方接近但永远小于1，于主双曲线就接近直线y=bax

问题2为什么二次函数的图象是抛物线？有哪些证明方法？

追问1：有哪些方式可说明二次函数的图象是抛物线呢？

方式1：二次函数的图像满足抛物线的几何特征；

方式2：二次函数的表达式可化成抛物线的标准方程。

追问2：二次函数通过怎样方式可变形为？

由于标准方程对应的抛物线，顶点在原点对称轴是y轴，所以可以通过两次平移来实现重合，平移方向与原顶点位置有关，这样我们就把普通的二次函数与标准方程所对应的抛物线结合在一起了。再进行“原路返回”，可求得:

焦点，准线.

追问3：怎样证明二次函数上的点满足抛物线的定义呢？

需要证明，然后把此式化简，得到.

由于计算量较大，我们不妨采用等价变形的方式。

右边

由于以上各步均是可逆的，也就证明了.

问题3本节课我们采用了怎样的探究方式？用到了哪些数学思想方法呢？

课后作业：

1.探求的渐近线方程？

2.抛物线有渐近线吗？请写一篇微型的研究报告．