全国统考2025高考数学一轮复习第八章立体几何8.7空间几何中的向量方法学案理含解析北师大版.docx

8.7空间几何中的向量方法

必备学问预案自诊

学问梳理

1.直线的方向向量与平面的法向量

(1)直线l上的非零向量e以及与的非零向量叫作直线l的方向向量.?

(2)假如表示非零向量n的有向线段所在直线平面α,那么称向量n垂直于平面α,记作.此时把叫作平面α的法向量.?

(3)确定平面的法向量的方法

①直接法:观看是否有垂直于平面的向量,若有,则此向量就是法向量.

②待定系数法:取平面内的两条相交向量a,b,设平面的法向量为n=(x,y,z),由n·a

2.线面关系的判定

设直线l1的方向向量为e1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量为e2=(a2,b2,c2),平面α的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面β的法向量为n2=(x2,y2,z2).

(1)若l1∥l2,则e1∥e2??.?

(2)若l1⊥l2,则e1⊥e2??.?

(3)若l1∥α,则e1⊥n1?e1·n1=0?.?

(4)若l1⊥α,则e1∥n1?e1=kn1?.?

(5)若α∥β,则n1∥n2?n1=kn2?.?

(6)若α⊥β,则n1⊥n2?n1·n2=0?.?

3.利用空间向量求空间角

(1)两条异面直线所成的角

设异面直线a,b所成的角为θ,则cosθ=|a·b||a||b|,其中

(2)直线与平面所成的角

如图所示,设l为平面α的斜线,l∩α=A,a为l的方向向量,n为平面α的法向量,φ为l与α所成的角,则sinφ==.?

(3)二面角

①若AB,CD分别是二面角α-l-β的两个平面内与棱l垂直的异面直线,则二面角(或其补角)的大小就是向量AB与CD

②平面α与β相交于直线l,平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2,n1,n2=θ,则二面角α-l-β为θ或π-θ.设二面角大小为φ,则=|n1·

4.利用空间向量求距离

(1)点到平面的距离

如图所示,已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离为d=|AB

(2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.

1.直线的方向向量的确定:l是空间始终线,A,B是l上任意两点,则AB及与AB平行的非零向量均为直线l的方向向量.

2.平面的法向量的确定:设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量,则求法向量的方程组为n

3.解空间角最值问题时往往会用到最小角定理

如图,若OA为平面α的一条斜线,O为斜足,OB为OA在平面α内的射影,OC为平面α内的一条直线,其中θ为OA与OC所成的角,θ1为OA与OB所成的角,即线面角,θ2为OB与OC所成的角,那么cosθ=cosθ1cosθ2.

考点自诊

1.推断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.

(1)直线的方向向量是唯一确定的.()

(2)平面的单位法向量是唯一确定的.()

(3)若两条直线的方向向量不平行,则这两条直线不平行.()

(4)若空间向量a垂直于平面α,则a所在直线与平面α垂直.()

(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角.()

2.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cosm,n=-12,则l与α所成的角为(

A.30° B.60° C.120° D.150°

3.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()

A.2a B.3a C.23a D.3

4.(2020湖北襄阳五中模考)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1所在直线旋转一周形成圆柱,如图,AC长为2π3,A1B1长为π3,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.则异面直线B

A.π6 B.π4 C.π3

5.(2020山东威海校际联考)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为22,则AC1与侧面ABB1A1所成的角为.?

(第4题图)

(第5题图)

关键力量学案突破

考点

利用空间向量证明平行、垂直

【例1】(2020四川攀枝花三中模拟)如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=2AB,B1C1=12BC,二面角A1-AB-C是直二面角

求证:(1)A1B1⊥平面AA1C;

(2)AB1∥平面A1C1C.

思考用向量方法证明平行和垂直有哪些基本方法?

解题心得1.用向量证明平行的方法

(1)线线平行:证明两直线的方向向量共线.

(2)线面平行:①证