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2023年广西柳州市重点中学自主招生数学试卷

一、填空题：（每小题6分，共10小题，共60分）

1．（6分）＝．

2．（6分）五个互不相等的正偶数x1，x2，x3，x4，x5的平均数和中位数都是A，且六个数x1，x2，x3，x4，x5，m的众数是6，平均数还是A，则这五个互不相等的正偶数x1，x2，x3，x4，x5的方差为．

3．（6分）已知AB是半径为1的圆O的一条弦，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点（其中a为常数，且0＜a＜1），DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为．

4．（6分）屯溪一中高一新生某个寝室有四个人，每个人写一张贺卡，集中起来．然后每人从中拿出一张．

5．（6分）不等边△ABC的周长为5，三边分别为a，b，c，则的最小值为．

6．（6分）已知多项式x2+bx+c（其中b，c是常数）既是多项式x4+6x2+25的因式，也是多项式3x4+4x2+28x+5的因式，则当x＝1时，x2+bx+c的值为．

7．（6分）已知平面直角坐标系xOy中，点列A1，A2，A3，?，An在x轴正半轴上，点列B1，B2，B3，?，Bn在函数的图象上，以点B1为直角顶点作等腰直角△OB1A1，依次类推，分别作等腰直角△A1B2A2，△A2B3A3，?，△An﹣1BnAn，则An的坐标为．

8．（6分）由等式，定义一种对应f：（a1，a2，a3，a4）→（b1，b2，b3，b4），如：f（4，6，4，2）表示x4+4x3+6x2+4x+2＝（x+1）4+1，对应的（b1，b2，b3，b4）是（0，0，0，1），记作f（4，6，4，2）＝（0，0，0，1），那么f（4，3，2，1）＝．

9．（6分）对一切实数x，若二次函数y＝ax2+bx+c（a＜b）的值恒为非负数，则的最小值是．

10．（6分）关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k＝0给出下列四个命题：

①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根；

③存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；

④存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；

⑤存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；其中正确命题的序号是．

二、解答题（每小题0分，共3小题，共30分）

11．设a，b是实数，求u＝a2+ab+b2﹣a﹣2b+3的最小值，并求出取得最小值时所对应的a，b的值．

12．已知函数y＝（2x5+2x4﹣53x3﹣57x+54）2014，求当时y的值．

13．某层大楼共有20层电梯，有19人在第一层上了电梯，他们分别要去第二至第二十层，而电梯只允许停一层，只可使1人满意，假定乘客每向下走一层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2，为使S最小，电梯应当停在第几层？说明理由．

三、解答题：（每小题15分，共4小题，共60分）

14．（15分）二次函数y＝4x2的图象是如图所示的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点F，使得对于经过F点的抛物线的任意一条弦AB为定值？证明你的结论．

15．（15分）（1）如图1，在Rt△PHQ中，H为直角顶点，，PM是∠HPQ的角平分线，求sin∠HPM的值；

（2）如图2，三棱锥S﹣ABC中，SA＝SB＝SC＝BC＝1，，E，SC上异于端点的两个动点，连接AE，AF，求△AEF周长的最小值．

16．（15分）已知a，b，c是△ABC的三边，求证：．

17．（15分）如图，过A的圆截平行四边形ABCD的边和对角线分别于P，Q，R，连接PR，PQ．

（1）求证：AR?PQ＝AQ?PR+AP?RQ．

（2）求证：AP?AB+AQ?AD＝AR?AC．

2023年广西柳州市重点中学自主招生数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题：（每小题6分，共10小题，共60分）

1．（6分）＝．

【解答】解：

＝

＝

＝

＝，

故答案为：．

2．（6分）五个互不相等的正偶数x1，x2，x3，x4，x5的平均数和中位数都是A，且六个数x1，x2，x3，x4，x5，m的众数是6，平均数还是A，则这五个互不相等的正偶数x1，x2，x3，x4，x5的方差为8．

【解答】解：∵x1，x2，x5，x4，x5的平均数是A，

∴x4+x2+x3+x3+x5＝5A，

∵x2，x2，x3，x2，x5，m的平均数还是A，

∴x1+x3+x3+x4+x2+m＝6A，

∴m＝A，

∵x1，x4，x3，x4，x4是五个互不相等的正偶数，且x1，x2，x