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3.3 抛物线-【高分突破系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第一册) (解析版).docx

3.3 抛物线-【高分突破系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第一册) (解析版).docx

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抛物线

1定义

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线,定点F称为抛物线的焦点,定直线l称为抛物线的准线.

如图,P在抛物线上,

2几何性质

标准方程

y

(

y

(

x

(

x

(

图象

顶点

(0,0)

对称轴

x轴

x轴

y轴

y轴

焦点

F

F

F

F

准线方程

x

x

y

y

离心率

e

3一些常见结论

①过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A,B两点的线段AB,称为抛物线的“通径”,

②若A、B在抛物线y2=2px上,

【题型一】抛物线的定义与方程

【典题1】与圆x-22+y2=1外切,且与直线x

【解析】由圆x-22+y2=1

设所求动圆圆心为P

过点P作PM⊥直线l:x

则|PF|-

因此可得点P的轨迹是到定点F(2,0)的距离和到直线L:x

由抛物线的定义可知:

点P的轨迹是抛物线,定点F(2,0)为焦点,定直线L:x

∴抛物线的方程为:y2

∴所求轨迹方程是y2

【点拨】

①直线l与圆O相切?圆心O到直线l的距离d=

②根据抛物线定义求方程,要确定好焦点与准线.

巩固练习

1(★)到直线x=-2与到定点P(2,0)

A.椭圆 B.圆 C.抛物线 D.直线

【答案】C

【解析】动点M到定点P(2,0)的距离与到定直线l:x

所以M的轨迹是以点P为焦点,直线l为准线的抛物线,

故选:C.

2(★★)若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离少1,则动点P的轨迹方程是

【答案】y2

【解析】∵点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0

∴点P到直线x=-4

根据抛物线的定义可得点P的轨迹是以点(4,0)为焦点,以直线x=

∴p

∴P的轨迹方程为y

故答案为:y2

【题型二】抛物线的图象及其性质

【典题1】设抛物线C:y2=8x的焦点为F,A是C上的一点且在第一象限,以F为圆心,以FA为半径的圆交C的准线于B,D两点,且A

【解析】∵A,F,B三点共线,

由抛物线定义知|

又抛物线C:y2=8

∴在Rt△ADB中,可得

设A的横坐标为x0,则|AD

【点拨】

①在抛物线中,遇到过焦点的直线,特别要注意抛物线定义的运用;

②若A、B在抛物线y2=2px

【典题2】已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M,N在抛物线上,且M,N,

【解析】如图,

分别过M,N作ME,

由PN→=

由抛物线定义可知NF

再由△PNG∽△

∴MF

则NF=

∴p

故答案为:23

【点拨】

①本题主要利用了相似三角形的性质(A字型)与抛物线的定义得到各线段的比值关系,平时解题中要多观察图象;

②题中线段过多,显得有些乱,其实在考试的非解答题中,遇到这类似问题,由于题目中没出现任一线段长度,确定p|MF|=FKME后,可设某一线段等于一具体数值,比如本题设PN

【典题3】已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,PQ垂直l于点Q,M,N分别为PQ,PF

【解析】如图所示:连接MF

∵y2=4x的焦点为F,

∵M,N分别为

∵PQ垂直l于点

∴四边形MQFR是平行四边形,

∵PQ

∴MF

∴四边形MQHF是矩形,

∴FR

故答案为:2.

【点拨】

①△PQF为等边三角形?

②M,N分别为PQ,

【典题4】已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点F在x轴上,其准线为l,过F的直线交抛物线于M,N两点,作MS⊥l,NT⊥l,垂足分别为S,T

A.y2=±x B.y2=±2x

【解析】如图所示,过点N作NH∥l交直线MS于点H,交x轴于点

设点M

当焦点在x轴的正半轴时,设抛物线C:y

∵MF→

∴-y1

由①②可解得x1

∴y

∴S△STF

此时抛物线C的方程为y2

同理,当焦点在x轴的负半轴时,可得p=-2,此时抛物线C

综上所述,抛物线C的方程为y2

故选:D.

【点拨】

①本题处理向量MF→

②遇到“△STF的面积为833”,想到把△STF的面积用p表示,从而求出p;关键在于ST=

【典题5】已知F为抛物线C:y2=2px(p0)的焦点,K为C的准线与x轴的交点,点P在抛物线C

①β的最大值是π4;②tanβ=sinθ;③存在点P

其中正确结论的序号是.

【解析】①由于对称性,不妨设点P在第一象限,设点P(m,n

当直线PK与抛物线相切时,可使β取得最大值.

可设直线PK方程为y=

由y=k

则?=

∵β是锐角,∴tanβ

②过P作PQ⊥x轴于点Q,在

在Rt△PQF

∴tanβ=sinθ

③在△PKF中,由正弦定理知

若α=2β,则

故存在点P符合题意,即③正确.

故答案为:①②③.

【点拨】

第一问是通过几何法确定直线PK与抛物线相切时,可使β取得最大值;第二问,涉及到三角函数tanβ、si

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