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抛物线
1定义
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线,定点F称为抛物线的焦点,定直线l称为抛物线的准线.
如图,P在抛物线上,
2几何性质
标准方程
y
(
y
(
x
(
x
(
图象
顶点
(0,0)
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点
F
F
F
F
准线方程
x
x
y
y
离心率
e
3一些常见结论
①过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A,B两点的线段AB,称为抛物线的“通径”,
②若A、B在抛物线y2=2px上,
【题型一】抛物线的定义与方程
【典题1】与圆x-22+y2=1外切,且与直线x
【解析】由圆x-22+y2=1
设所求动圆圆心为P
过点P作PM⊥直线l:x
则|PF|-
因此可得点P的轨迹是到定点F(2,0)的距离和到直线L:x
由抛物线的定义可知:
点P的轨迹是抛物线,定点F(2,0)为焦点,定直线L:x
∴抛物线的方程为:y2
∴所求轨迹方程是y2
【点拨】
①直线l与圆O相切?圆心O到直线l的距离d=
②根据抛物线定义求方程,要确定好焦点与准线.
巩固练习
1(★)到直线x=-2与到定点P(2,0)
A.椭圆 B.圆 C.抛物线 D.直线
【答案】C
【解析】动点M到定点P(2,0)的距离与到定直线l:x
所以M的轨迹是以点P为焦点,直线l为准线的抛物线,
故选:C.
2(★★)若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离少1,则动点P的轨迹方程是
【答案】y2
【解析】∵点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0
∴点P到直线x=-4
根据抛物线的定义可得点P的轨迹是以点(4,0)为焦点,以直线x=
∴p
∴P的轨迹方程为y
故答案为:y2
【题型二】抛物线的图象及其性质
【典题1】设抛物线C:y2=8x的焦点为F,A是C上的一点且在第一象限,以F为圆心,以FA为半径的圆交C的准线于B,D两点,且A
【解析】∵A,F,B三点共线,
由抛物线定义知|
又抛物线C:y2=8
∴在Rt△ADB中,可得
设A的横坐标为x0,则|AD
【点拨】
①在抛物线中,遇到过焦点的直线,特别要注意抛物线定义的运用;
②若A、B在抛物线y2=2px
【典题2】已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M,N在抛物线上,且M,N,
【解析】如图,
分别过M,N作ME,
由PN→=
由抛物线定义可知NF
再由△PNG∽△
∴MF
则NF=
∴p
故答案为:23
【点拨】
①本题主要利用了相似三角形的性质(A字型)与抛物线的定义得到各线段的比值关系,平时解题中要多观察图象;
②题中线段过多,显得有些乱,其实在考试的非解答题中,遇到这类似问题,由于题目中没出现任一线段长度,确定p|MF|=FKME后,可设某一线段等于一具体数值,比如本题设PN
【典题3】已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,PQ垂直l于点Q,M,N分别为PQ,PF
【解析】如图所示:连接MF
∵y2=4x的焦点为F,
∴
∵M,N分别为
∵PQ垂直l于点
∴四边形MQFR是平行四边形,
∵PQ
∴MF
∴四边形MQHF是矩形,
∴FR
故答案为:2.
【点拨】
①△PQF为等边三角形?
②M,N分别为PQ,
【典题4】已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点F在x轴上,其准线为l,过F的直线交抛物线于M,N两点,作MS⊥l,NT⊥l,垂足分别为S,T
A.y2=±x B.y2=±2x
【解析】如图所示,过点N作NH∥l交直线MS于点H,交x轴于点
设点M
当焦点在x轴的正半轴时,设抛物线C:y
∵MF→
∴
∴-y1
由①②可解得x1
∴y
∴
∴S△STF
此时抛物线C的方程为y2
同理,当焦点在x轴的负半轴时,可得p=-2,此时抛物线C
综上所述,抛物线C的方程为y2
故选:D.
【点拨】
①本题处理向量MF→
②遇到“△STF的面积为833”,想到把△STF的面积用p表示,从而求出p;关键在于ST=
【典题5】已知F为抛物线C:y2=2px(p0)的焦点,K为C的准线与x轴的交点,点P在抛物线C
①β的最大值是π4;②tanβ=sinθ;③存在点P
其中正确结论的序号是.
【解析】①由于对称性,不妨设点P在第一象限,设点P(m,n
当直线PK与抛物线相切时,可使β取得最大值.
可设直线PK方程为y=
由y=k
则?=
∵β是锐角,∴tanβ
②过P作PQ⊥x轴于点Q,在
在Rt△PQF
∴tanβ=sinθ
③在△PKF中,由正弦定理知
若α=2β,则
故存在点P符合题意,即③正确.
故答案为:①②③.
【点拨】
第一问是通过几何法确定直线PK与抛物线相切时,可使β取得最大值;第二问,涉及到三角函数tanβ、si
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