3.5.5 抽象函数-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第一册) (原卷版).docx

抽象函数

1概念

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.

2常见抽象函数模型

特殊模型

抽象函数

正比例函数f

f

幂函数f

fxy=

指数函数f

fx+

对数函数f

fxy=

【题型一】求值问题

【典题1】已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的函数，且对任意x,y

【典题2】对任意实数x,y，均满足fx+y2=f

【题型二】单调性问题

设函数y=f(

①对任意正数x,y，都有f(xy)=f(x)+f

(1)求f(1),

(2)证明f(x)

(3)如果不等式f(x)+

【题型三】奇偶性问题

定义在R上的增函数y=f(x)

(1)求f(0)；

(2)证明：f(

(3)若f(k?3x

【题型四】周期性问题

奇函数f(x)定义在R上，且对常数T0，恒有f(x+

巩固练习

1(★★)f(x)的定义域为(0,+∞)，对任意正实数x,y都有f(xy)=

2(★★★)已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R都有fx

3(★★)f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x

4(★★★)已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x

①对任意x,y∈(-∞,0)∪(0,+∞)，都有

②当x1时，f(x

(1)试判断函数f(

(2)判断函数f(x)

(3)求不等式f(3x-

5(★★★)已知定义在(0,+∞)的函数f(x)，对任意的x、y∈(0,+∞)，都有f

(1)证明：当x1时，f

(2)判断函数f(

(3)如果对任意的x、y∈(0,+∞)，f(

6(★★★)定义在R上的单调增函数f(x)满足：对任意x

(1)求f(0)

(2)求证：f(

(3)若f(1+2x)+f

挑战学霸

已知fx是定义在R上不恒为0的函数，满足对任意x,y∈R

(1)求f(

(2)判断f(

(3)①当x∈Z时，求f(x)的解析式；②当