7.2.1 任意角的三角函数（解析版）.docx

7.2.1任意角的三角函数

一、三角函数的定义

1、定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则：

叫做的正弦函数，记作.即；

叫做的余弦函数，记作.即；

叫做的正切函数，记作.即。

2、三角函数定义域

正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：

正弦函数：

余弦函数：

正切函数：

3、三角函数另一种定义

设点（不与原点重合）为角终边上任意一点，

点P与原点的距离为：，则：，，.

三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关

二、三角函数的符号

【口诀记忆】

“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．

其含义是在第一象限各三角函数值全为正，

在第二象限只有正弦值为正，在第三象限

只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．

三、三角函数线

如下图所示：

1、正弦线：角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线；

2、余弦线：有向线段OM即为余弦线

3、正切线：过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边或其反向延长线相交于点T，有向线段AT即为正切线

四、特殊角的三角函数值

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

270°

0

0

1

0

－1

1

0

-

-

-

－1

0

0

1

－1

0

五、三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法

1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值

方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；

2、已知角的一个三角函数值和终边上的点P的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值

方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；

3、已知角的终边所在的直线方程（，），求角的三角函数值

方法：先设出终边上的一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意的符号，对分类讨论）

题型一利用三角函数的定义求值

【例1】已知点是角终边上一点，则（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】因为点是角终边上一点，所以．故选:D.

【变式1-1】已知角终边过点，则的值为（）

A．B．C．–D．–

【答案】A

【解析】由题意得，点到原点的距离，

所以根据三角函数的定义可知，，

所以.故选：A．

【变式1-2】已知角的终边与单位圆交于点，则（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】在单位圆中，，解得，故.故选：C.

【变式1-3】若点在角的终边上，则的值是

【答案】1

【解析】据题意，得.

【变式1-4】在直角坐标系中，若角始边为轴的非负半轴，终边为射线：，则______.

【答案】

【解析】在直角坐标系中，若角始边为轴的非负半轴，

终边为射线，在射线上任取一点，

则

【变式1-5】已知角的终边经过点，且，则____．

【答案】

【解析】因为角的终边经过点，且，

所以，解得或，

因为点的纵坐标为，且，

所以角的终边落在第三象限，

所以，即，

所以，

所以.

【变式1-6】在平面直角坐标系xOy中，角与均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若，则（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】设角a与β的终边分别与单位圆交于点、，

因为它们的终边关于y轴对称，

所以且，

因为，所以，

所以．故选：A.

题型二三角函数的符号判断

【例2】已知且，则是（）

A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角

【答案】D

【解析】，则是第三、四象限的角

，则是第二、四象限的角

∴是第四象限的角，故选：D．

【变式2-1】已知角满足，且，则（）

A．可能在第一象限B．可能在第二象限

C．可能在第三象限D．可能在第四象限

【答案】B

【解析】由知：可能在第二或第四象限；

当在第二象限时，，，满足；

当在第四象限时，，，则，不合题意；

综上所述：可能在第二象限.故选：B.

【变式2-2】已知点在第四象限，则角是（）

A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角

【答案】C

【解析】在第四象限，

，位于第三象限.故选：C.

【变式2-3】若是第二象限角，则点在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】B

【解析】根据题意，是第二象限角，则，

则点在第