7.3.17.3.2 三角函数的周期性、三角函数的图象与性质（解析版）.docx

7.3.17.3.2三角函数的周期性、三角函数的图象与性质

一、三角函数的周期性

1、周期函数的定义

设函数的定义域为，如果存在一个非零常数，使得对于任意，都有，且，那么函数就叫作周期函数，非零常数叫作这个函数的周期。

2、最小正周期

对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作的最小正周期。其中三角函数中的周期一般都指最小正周期。

3、正弦函数、余弦函数、正切函数的周期

（1）正弦函数、余弦函数的最小正周期是，正切函数的最小正周期是；

（2）函数及的周期为；

函数的周期为（其中为常数，且，）

二、正（与）弦函数的图象与性质

1、正（与）弦函数的图象

函数

y＝sinx

y＝cosx

图象

图象画法

五点法

五点法

关键五点

,,,,

,,,,

正（余）弦曲线

正（余）弦函数的图象叫做正（余）弦曲线

2、正（余）弦函数的性质

图象

定义域

值域

[-1,1]

[-1,1]

最值

周期性

奇偶性

奇

偶

单调性

在上单调递增

在上单调递减

在上单调递增

在上单调递减

对称性

对称轴方程：

对称中心，

对称轴方程：

对称中心，

三、正切函数的图象与性质

1、正切函数的图象

2、正切函数的性质

（1）定义域：

（2）值域：R

（3）周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是

（4）奇偶性：正切函数是奇函数，即

（5）单调性：在开区间内，函数单调递增

四、三角函数的值域求法

常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：

（1）形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sint的最值(值域)．

（2）形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sinx，将函数y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)．

（3）对于形如y＝asinx(或y＝acosx)的函数的最值还要注意对a的讨论．

题型一三角函数的周期性

【例1】求下列函数的周期：

（1）；（2）；（3）；

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】（1）正弦函数的周期是，所以所求函数的周期是；

（2）余函数的周期是，所以所求函数的周期是；

（3）余函数的周期是，所以所求函数的周期是．

【变式1-1】函数的最小正周期是（）

A．B．C．4D．6

【答案】C

【解析】因为，

所以函数的最小正周期．故选：C

【变式1-2】下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是（）

A．B．C．D．??

【答案】C

【解析】对于A选项，由于的周期为，故A选项不正确；

对于Ｂ选项，由于的周期为，故B选项不正确；

对于C选项，由于的最小正周期为，在区间上，

单调递增，故C选项正确；；

对于D选项，由于的最小正周期为，

在区间上，单调递减，故D选项不正确．故选：C．

【变式1-3】直线与函数（，为常数）的两个相邻交点的距离是______．

【答案】

【解析】函数的最小正周期是，

所以直线与函数（，为常数）的两个相邻交点的距离是．

【变式1-4】若函数两零点间的最小距离为，则（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【解析】因为函数两零点间的最小距离为，

所以，所以，所以，解得：.故选：A

【变式1-5】若函数，求_____.

【答案】0

【解析】因为函数的周期，

而，，

则，

则，

题型二五点法作三角函数的图象

【例2】用“五点法”画在一个周期内的简图时，所描的五个点分别是，，，，_______．

【答案】.

【解析】用“五点法”画在一个周期内的简图时，

分别令，当，可得，此时，

所以五个点分别为，，，，.

【变式2-1】用“五点法”作函数，的大致图像，所取的五点是______．

【答案】，，，，

【解析】由“五点法”作函数，，的图象时的五个点分别是

，，，，．

【变式2-2】画出下列函数的简图：

（1），；（2），．

【答案】（1）图象见解析；（2）图象见解析

【解析】（1）因为，，

取值列表：

0

0

1

0

0

描点连线，可得函数图象如图示：

（2）因为，

取值列表：

1

0

1

描点连线，可得函数图象如图示：

【变式2-3】画出函数，的简图．

【答案】答案见解析．

【解析】列表：

0

1

0

－1

描点连线：

题型三含绝对值的三角函数

【例3】函数y＝|cosx|的一个单调增区间是（）

A．B．[0，π]